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2017-4-15 相识数学 2第一讲 20 世纪数学的发展? 20 世纪数学发展的三大特征?纯粹数学的扩展?数学的空前渗透?计算机与数学的相互影响 2017-4-15 相识数学 3 ?纯粹数学的扩展“在 19 世纪,纯粹数学的发展堪与蒸汽机和电机的使用相提并论”(英)数学家、哲学家罗素语?纯粹数学在 20 世纪的成就: (1)费马大定理的解决; (2)四色定理的解决; (3)连续统假设及复杂的有限单群分类定理被解决或取得重大成果。 2017-4-15 相识数学 4 ? 20 世纪纯粹数学发展的趋势: (1)更高的抽象性; (2)更强的统一性; (3)对基础的更深入的探讨。 2017-4-15 相识数学 5 ? 20 世纪数学的抽象化主要受两大因素推动: 集合论观点与公理化方法?集合论观点: (1)集合论由德国数学家康托等因微积分严格化需要而提出; (2)(法)弗莱歇推广为一般或抽象的集合论; (3)抽象的集合论成为数学各领域中很有用的工具,逐渐成为一种通用语言。 2017-4-15 相识数学 6 ?公理化方法: (1)现代公理化方法的奠基人——希尔伯特希尔伯特的 23 个问题(2)公理化系统雏型——欧几里德的《几何原本》几何原本的不足之处? 例 2017-4-15 相识数学 7 (3)希尔伯特公理化方法的改进?对公理系统提出逻辑要求:相容性、独立性、完备性; ?公理系统研究对象是抽象的;对象本身并不重要,重要的是这些对象之间所存在的,按照公理来刻画的一些相互关系; (4)抽象化的成果?导致四大抽象学科的诞生:实变函数论、泛函分析、抽象代数和拓朴学; ?四大抽象学科及其概念、方法、定理对已有其他学科的渗透, 引起了数论、代数、几何、概率论、微积分等分支的变革。 2017-4-15 相识数学 8 ?纯粹数学的发展成果(1)分析领域: ?积分概念的变革:波雷尔测度、勒贝格积分、实变函数论; ?函数概念的推广: ※映射(一个集合的抽象元素与另一集合的元素之间的对应); ※泛函(函数的集合与数的集合之间的映射)、泛函分析; 2017-4-15 相识数学 9 (2)代数领域: ? 19 世纪,伽罗华提出群的概念,代数学发展成为讨论抽象元素之间的运算关系,而这些关系符合的性质是用公理刻画的; ? 20 世纪,代数学研究一般的、抽象的代数结构。※代数结构:一个包含抽象元素的集合,这些元素之间定义了一种或几种运算,这些运算之间满足一定的关系、性质,这种性质是用公理、公理系统来刻画的。?法国布尔巴基学派把抽象代数中的一个代数结构引申到一般的数学结构。※结构观点:以代数结构、拓扑结构、序结构为“母结构”,它们相互交叉派生出各种“子结构”,便是数学不同分支领域的主要研究对象。 2017-4-15 相识数学 10 (3)几何领域: ?欧氏几何:绝对空间,三维、平直、刚性; ? 19 世纪到 20 世纪,非欧几何的发展; ※维数: 3维→n维→无穷维→分数维, 希尔伯特空间; ※弯曲空间:罗巴契夫斯基几何,爱因斯坦相对论时空; ※拓扑学:刚性原则的突破; ?空间概念:空间是一种抽象结构;