第六节泰勒公式与泰勒级数.docx

§泰勒公式与泰勒级数
教学目的：掌握泰勒公式与 TaylorTh , 了解函数的Taylor级数与
Taylor展式的关系.
重点：泰勒公式与泰勒定理成立的条件，理解泰勒公式的推导方法
难点：理解泰勒公式的推导方法.
教学方法：启)(x xo)Rn(x).
n!
此式称为按x
f(n 1)()
Rn(x) (■工(x xo)n 1称为拉格朗日型余项， 介于xo与
(n 1)!
x之间.
证明：因为f (x)在含有xo的区间I(a, b)内有直到n 1阶的连续
导数，所以对于xo (a,b),可将f(x)写成
f (x) f (xo) f (xo)(x xo)f 2x”(x xo)2 \\\
1f(n)(xo)(x xo)nk 仆0 xo)n 1
n!(n 1)!
为求出k的值，引进辅助函数
(t) f(x) f(t) f (t)(x t) -f2(^(x t)2 HI
—f(n)(t)(x t)n ——(x t)n 1
n!(n 1)!
显然 (xo)
(x) o,
(t)在区间［xo,x］上连续(设x xo),
在区间（Xo,X）内可导，由罗尔中值定理可知，至少存在一点
(x0,x),使得
(t) f (t) f
() ⑴(x
0,因为
f (t),
[ (x
2!
3!
[f(n 1)(t)
n!
化简整理得
所以
(x
)n
Rn(X)
n!
f(n ? f (n 1) (n
在公式中当
xo
f(x)
f (0)
t)2
t)3
(X
(t)
[k
() ’() 1)!
f ⑴(x t)]
t)n
(x
f(n
(x
0时,
号(x t)2] III
凸Zx t)(n1)]区(x t)n
(n 1)! n!
t)n n!
1)(
x°)n
[k f(n 1)(t)]
)]0 ,而(x )n 0
Un' ),于
日
ZE
介于x0与x之间.
公式可化为麦克劳林公式
f(0)x 嘿 x2
HI
f^xn R(x)
,x Rn(x)
n!
其中
f (n 1)
Rn(x)-- (n
LJ. xn 1 x 1)!
或令
x,0
1 ，则 Rn(x)
f1^xn1
(n 1)!
t) [f (t)(x t) f (t)]
另证
:不妨设x
n 1
Rn(t)f(t)P1(t), Gn(t)(t x°)
由条件知：(连续n 1次使用柯西中值定理 可以证明)
Rnk)(t)，Gnk)(t) C[x0,x], Rnk)(t),Gn(k)(t) D(x0,x), 显然 Rnk)(x0) Gn(k)(x0) 0, k 0,1, ,
R(x)
(x Xo)n1
Rn( 2)
Gn( 2)
Rn(X)MX。)
Gn(X)Gn(Xo)
R，"( n 1) Gnn 1)( n 1)
Rn( l)Rn( l) Rn(X。)
Gn( 1)Gn( 1) Gn(Xo)
f(n1)() ,
(n 1)!
其中X。n 121 X ,所以
f (n 1)()
Rn(X) -(X Xo)n 1 , 介于 X。与 X 之间.
(n 1)!
例1求f (x) eX的n阶麦克劳林公式
,n 1,那么
eX f(X) f (0) f (0)x
-f (n)(0)Xn n!
.(n 1),、
f ( x) n 1
(n 1)! X
1 2
一 X 2!
1 n
-X n!
X
e n X
(n 1)!
1, 0
解因 f (k)(X) eX, f (k)(0)e°1, k 0,1,
例2 求f (x) sin x的n阶麦克劳林公式
解因 f(k)(x) sin(x k ), f(k)(0) sin§ ).
有
f(0) 0, f (0)1,f (0)0,f (0)1,||| f (2k)(0) 0,
f(2k1)(0)( 1)k …,k 0,1,2”，那么
sin x f (x)
f(0)
f (0)x \\\
-f (n)(0)xn n!
f(2n1)( X)x2n 1 (2n 1)!
3 X
X 一 3!
5 X
5!
III
2n 1
X
(2n 1)!
R2n (X),(或 R2n 1(X)都可以)
sin[ x (2n
其中：R2n(X)
1)-]
2/1,0
(2n 1)!
特别地:
1 时，sinx
2时，sinx
3时，sin x
x, x x
|R । |x|3 |R2| IT
3