平面几何四心讲义.doc

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三角形四心竞赛讲义
一、“四心〞分类讨论1
1、外心1
2、心2
3、垂心3
4、重心5
5、外心与心6
6、重心与心6
7、外心与垂心7
8、外心与重心8
9、垂心与心8
10、垂心、重心、外心8
旁心B′C′，使A*，BY，CZ恰好是△A′B′C′的三边上的垂直平分线，则A*，BY，CZ必然相交于一点．
例1、设H是等腰三角形ABC的垂心。在底边BC保持不变的情况下，让顶点A至底边BC的距离变小，。
例2、设H为锐角△ABC的三条高AD、BE、CF的交点，假设BC=a，AC=b，AB=c，则AH·AD+BH·BE+CH·CF等于( )
(A)(ab+bc+ca)； (B)；
(C)(ab+bc+ca)； (D)。
例3、求证：锐角三角形的垂心H必为其垂足三角形的心。
分析、由性质不难得到证明。由本例结论，可得到下述命题的简捷证明：△ABC中，H为垂心，AD、BE、CF是高，EF交AD于G，求证：。
例4、如图9-8所示，△ABC的高AD、BE交于H，△ABC、△ABH的外接圆分别为⊙O和⊙O1，求证：⊙O与⊙O1的半径相等。
4．设G为△ABC的垂心，D，E分别为AB，AC边的中点，如果S△ABC=1，则S△GDE=.
4、重心
三角形三条中线的交点叫三角形的重心。△ABC的重心一般用字母G表示，它有如下的性质：
(1)顶点与重心G的连线必平分对边。
(2)重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
(3)。
例3证明：三角形的三条中线相交于一点，此点称为三角形的重心．重心到顶点与到对边中点的距离之比为2∶1．
：△ABC中，A*，BY，CZ分别是BC，AC，AB边上的中线，求证：A*，BY，CZ相交于一点G，并且AG∶G*=2∶1(图3－112)．
明为什么称G点为△．设△ABC为一个质量均匀的三角形薄片，并设其重量均匀集中于A，B，C三点，如果把B，C两点的重量集中于BC边中点*时，则△ABC的三顶点A，B，C的集中重量作了重新分配．假设A点为1，则*点为2，因此在A*上的重心支撑点必在AG∶G*=2∶1处的G点．这样一来，如果在G点支起三角形，则△ABC必保持平衡，所以G点为三角形的重心(图3－113)．
例1、G是△ABC的中心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：。
分析、构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积。延长GP至F，使PF=PG，边FB、FC、AD(图9-9)。
例2、设G是等腰△ABC底边上的高、AD与腰AC上的中线BE的交点。假设AD=18，BE=15，则这个等腰三角形的面积为多少.
例3、平行四边形ABCD的面积是60，E、F分别是AB、BC的中点，AF分别与ED、BD交于G、H，则四边形BHGE的面积是_____________。
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例7如图3－118．设G为△ABC的重心，从各顶点及G向形外一直线l引垂线AA′，BB′，CC′，GG′(其中A′，B′，C′，G′为垂足)．求证：AA′+BB′+CC′=3GG′．
分析由于图