数学物理方程答案谷超豪.doc

数学物理方程 答案 谷超豪
第一章( 波动方程
?1 方程的导出。定解条件
1(细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明]上发生变化，那末对应的解在区间[x1，
x2]的影响区域以外不发生变化;
(2) 在x轴区间[x1,x2]上所给的初始条件唯一地确定区间[x1,x2]的决定区 域
中解的数值。
证:(1) 非齐次方程初值问题的解为
当初始条件发生变化时，仅仅引起以上表达式的前两项发生变化，即仅仅影晌到相应齐 次方程初值的解。
当在[x1,x2]上发生变化，若对任何t>0,有x+at<x1或x-at>x2,则区间[x-at,x+at]整个落在区间[x1,x2]之外，由解的表达式知u(x,t)不发生变化，
x,t)落在区间[x1,x2]的影响域 即对t>0,当x<x1-at或x>x2+at,也就是(
之外，解u(x,t)不发生变化。 (1)得证。
(2). 区间[x1,x2]的决定区域为
在其中任给(x,t),则
故区间[x-at,x+at]完全落在区间[x1,x2]中。因此[x1,x2]上所给的初绐
代入达朗贝尔公式唯一地确定出u(x,t)的数值。 条件
5. 若电报方程
为常数具体形如
的解(称为阻碍尼波)，问此时C,L,R,G之间应成立什么关系,
解
代入方程，得
由于f是任意函数，故的系数必需恒为零。即
于是得
所以
代入以上方程组中最后一个方程，得
得又 即
最后得到 (利用波的反射法求解一端固定并伸长到无穷远处的弦振动问题
。 解:满足方程及初始条件的解，由达朗贝尔公式给出:
由题意知仅在上给出，为利用达朗贝尔解，必须将开拓到上，为此利用边值条件，得
1。
因此对任何t必须有
at
即必须接奇函数开拓到上，记开拓后的函数为;
所以
。
(求方程形如的解(称为球面波)其中
。 解:
代入原方程，得
即
令 ，则
，
代入方程，得 v满足
故得通解 所以
8(求解波动方程的初值问题
解:由非齐次方程初值问题解的公式得
tt
=tsinx
为所求的解。 即
9(求解波动方程的初值问题。
解:
所以
?3混合问题的分离变量法
1. 用分离变量法求下列问题的解:
(1)
解:边界条件齐次的且是第一类的，令
得固有函数，且 l
，
于是
今由始值确定常数An及Bn，由始值得
所以 当
因此所求解为
解:边界条件齐次的，令
得:
2及 。
求问题(1)的非平凡解，分以下三种情形讨论。 时，方程的通解为
由得
由得解以上方程组，得，，故时得不到非零解。
时，方程的通解为由边值得，再由
得，仍得不到非零解。 时，方程的通解为
由得，再由得
，于是
2为了使，必须
且相应地得到Xn(
将代入方程(2)，解得
于是 再由始值得
容易验证
构成区间[0,l]上的正交函数系:
当
当
利用
正交性，得
所以
2。设弹簧一端固定，一端在外力作用下作周期振动，此时定解问题归结为
求解此问题。
解:边值条件是非齐次的，首先将边值条件齐次化，取
足
，
令代入原定解问题，则v(x,t)满足
，则U(x,t)满l(1)
v(x,t)满足第一类齐次边界条件，其相应固有函数为
， 故设
展成级数，得
按及初始条件中将方程中非齐次项
其中
其中
将(2)代入问题(1)，得Tn(t)满足
解方程，得通解
l
由始值，得
所以
因此所求解为
3(用分离变量法求下面问题的解
解:边界条件是齐次的，相应的固有函数为
设
将非次项bshx按展开级数，得 l
其中
代入原定解问题，得Tn(t)满足 将
方程的通解为
l由，得:
由，得
所以
所求解为
4(用分离变量法求下面问题的解:
解:方程和边界条件都是