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!定积分计算方法总结
摘 要
定积分是数学分析中的一个基本问题～～常见的包括分项积分、分段积分法、换元积分法、分部积分法. 定积分. ，(1)min,cosxxdx,,,,,2,,2
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1,,,,，，解 由于为偶函数，在0,上的分界点为，所以 min,cosx,,,,223，，,,
,,,111,,,,,,2222min,cosxdx=+ ，xxdxmin,cos(1)min,cosxxdx,,,,,,,,,,,0,,222,,,,,,22
,,,1320，==. ，,23，2(cos)dxxdx,,,0323
1,2,0x,,1，x例2-4 计算定积分fxdx(1),，其中fx(). ,,1,0,0x,x,1，e,
fx()0tx,,1的分界点为，所以，令后，有 解 由于函数
210111fxdx(1),=ftdt()=+ dxdxx,,,,,,0110，e1，x1
,x0e1,x0ln(1)，x,，ln(1)e=dx+=+ ln20,1,x,1,1，e
ln(1)，e=.
换元积分法(变量替换法) 换元积分法可以分为两种类型: 第一类换元积分法(也被俗称为“凑微分法”)
,dx[3]2例2-5 计算定积分. ,1sintanxx，
xx22cossin,,,,cosxdxdx22222dx解 == ,,,111xx，sin(1cos)xxsintanxx，34sincos22
x21tan,,,x11xx222,dtan(tan)tand= = ,,11xx2222tan2tan22
,,11xx222,= lntantan112242
11112=. ,，,lntantan2424
221,xdx例2-6 计算定积分. 4,01，x
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1,1222221,x11xdx 解 == dx,，dx()4,,,00011x1，x22，x，x22xx
211= ,，dx(),01x2()2，,xx
11，，dxdx()()，，22,,1xx= ,,,,,,001122,,()2()2，,，，xxxx，，
1，,x21112x==. ,ln,ln1502222，，x2x
第二换元积分法
常用的变量替换有:?三角替换;?幂函数替换;?指数函数替换?倒替换(
下面具体介绍这些方法(
? 三角替换
312[4]4xxdx(1),例2-7 计算定积分. ,0
33111222442xt,sinxxdx(1),解 由于=，故可令，于是 (1),xdx,,002
321arcsin1arcsin111244xxdx(1),== costdt(1cos2)，tdt,,,00028
arcsin111cos4，t= )dt(12cos2，，t,028
11arcsin1= (32sin2sin4)ttt，，0164
12= (34sin1sinttt，,，16
22arcsin1 sin1sin(1sin))ttt,,0
12242441= (3arcsin41(12)1)xxxxxx，,，,,016
13224641==. arcsin1(3arcsin5121)xxxxx，,,,01616
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?幂函数替换
,2sinx2例2-8 计算定积分. dx,0，sincosxx
,解 作变量代换，得到 xt,,2
,,22sinxcost22=，因此 dxdt,,00，，sincosxxsincostt
,,,222sinx1sincosxt222，== dx()dxdt,,,000，，，sincosxx2sincossincosxxtt
,,3,111111224dxdx=== dx,,,,00,，2sincosxxsinx22224，sin()x4
3,11cos,x14=. ln(12)，(ln),sinx2224
?倒替换
31+dx2例2-9 计算定积分. ò12xxx321--
31，31，dxdx22解 = ,,12121xxx321,,2x3,,2xx
1令得 t,x
31，31,dtdxt，1,31,2===. ,,arcsin1,,12162214(1)t2,，x3,,2xx
分部积分法
[5],,,()x,()xab,定理 3-1若，在上连续，则 ,,bbbbbb,,uvdxuvuvdx,,udvuvvdu,,或. aa,,,,aaaa
bfxdx()利用分部积分求的解题方法 ,a
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bb,(1)首先要将它写成udv()或uvdx得形式( ,