(完整版)极限运算法则两个重要极限.docx

复习旧课：、无穷大量、无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系
导言：前面我们介绍了极限的定义，为了方便计算下面我们介绍极限的运算法则和两个重要的极限
2. 3极限的运算法则
2. 3. 1极限的性质
定理1:(唯一性)的最高次 幕。
先通分，再计算。
例7求lim(
xt1
12-1) x 一 1 x 2 一 1
1 2 x +1 — 2
解 lim(—1 一 -) =lim - 2
XT1
x t1 x — 1 x2 — 1 rT1 x2 — 1 2
小结：1 •极限运算法则
2•求极限方法
1)设 P(x)为多项式，则 lim P(x) = P(x0)。 xT x°
2) P(x)、Q(x)均为多项式，且Q(xo)丰0，则
lim 竺二— x T X0 Q (x) Q (xo)
3)若 f (x) T o,g (x) T A A 0，则 limf| 虫
4)若lim兽为“ 0 ”型时，用因式分解找出“零因子”
f (x) 0
—o,当m = n,b 丰 0, b o
5)结论:
十 a xm + a xm-i +A + a lim 01 m
XT8 b Xn + b Xn-1 +A + b
0 1 n
o
< 0, 当 m 兀 n,
g,当m © n.
若a (x) T 0, f (x)有界，则 lima (x)f (x) = 0
若lim[ f (x) 一 g ( x)]为“ g-g ”型时，一般是通分或有理化后再处 理。
2. 4两个重要极限
2. 4. 1判别极限存在的两个准则
准则1 (夹逼定理)设函数f(x)，g(x)，h(x)在x0的某一邻域U(x0,5)内满足
g (x) < f (x) < h(x)
且有极限 lim g(x) = lim h(x) = A，则有 lim f (x) = A
xT x0
xT x0
xT x0
准则2如果数列h ｝单调有界, n
则lim x 一定存在。
n
xTg
一般
sin U . lim = 1 U t0 U
证明略
2. 4. 2两个重要极限
十 sin x 讦
1 •极限 lim 一 = 1
xt0 x
tan x
例8计算lim
xt0 x
十 tan x 十 sin x
解 lim = lim
x t0 x xt0 x
[・ 1 一 cos x
例9计算lim
xt0
1 十 sin x 十 1 lim ・ lim =1 xt0 x xt0 cos x
cos x
2sin2f
1 一 cos x 十
解 lim = lim
xt0 x2 xt0 x2
=lim1-
xt0 2
.x
sin
2
x
例8、例9结果可作 为公式使用。
cos x = 1 一 2sin2 —
2
_ x .
=2COS2 — 1
2
可证得此结论。
=ilim
—2 二
tO
2
.X
sm
2
X
[.sin 5 x 例10计算lim ~3
x tO 3 X
sin 5 x 十 sin 5 x -=lim
x tO 5 X
sinf ( x)] _ 1
解 lim 3
xtO 3 X
结论：lim
f (X )tO
f (x)
sin 3 x - sin x
例11计算lim
xtO x
sin3x - sin x 2cos2 x sin x
=lim
x tO
sin x
解lim
xtO
_ 2limcos 2x - lim sin X _ 2
xtO xtO x
例12求lim
xto tan x
sin x sin x
解 lim = lim(—
Xto tan X xto x
x sin x
)_ lim(
tan x
xtO
tan x)1
sin x
例13求lim
xt兀 tan x
sin x sin x
解错误做法：lim =lim(
XT冗 tan X XT兀 X
tan x> 1
十 sin x sin（兀 +1） 十 -sin t .
正确做法：四需i j詈血k _豎亦_-1
lim(1 + -)X _ e
X TS X
.1齐
例 14 计算lim(1 + -) 2
X TS X
1 X 1 1 1
解 lim(1 + — )2 = [lim(1 + —) x]2 _ e2
X TS X XTS X