排列组合的解题方法.ppt

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排列的简单应用
排列的简单应用
目的:理解掌握含有特殊限制条件的排队问题的解决方法,进一步培养分析问题、解决问题的能力.
重点:优限法、捆绑法、插空法的运用
一、【概念复习】:
,理解排列定义需要注意的几点问题;
从n个不同元素中,任取m(m<n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
,排列数的计算公式
:⑴ 7位同学站成一排,共有多少种不同的排法?
解:问题可以看作:7个元素的全排列A77=5040
⑵ 7位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法?
解:问题可以看作:余下的6个元素的全排列A66 =720
⑶ 7位同学站成一排,其中甲不站在首位,共有多少种不同的排法?
解一:甲站其余六个位置之一有A61种,其余6人全排列有A66 种,共有A61 A66 =4320.
解二:从其他6人中先选出一人站首位,有A61,剩下6人(含甲)全排列,有A66 ,共有A61 A66 =4320.
解三:7人全排列有A77,甲在首位的有A66,所以共有 A77- A66=7 A66- A66=4320.
二、新课:例: 7位同学站成一排.
⑴甲、乙只能站在两端的排法共有多少种?
解:根据分步计数原理:第一步甲、乙站在两端有A22种;第二步余下的5名同学进行全排列有A55种则共有A22 A55 =240种排列方法
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
甲
乙
乙
甲
a
b
c
d
e
e
b
d
c
a
A55
A55
A22
A22
⑵甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种?
解法一:第一步从(除去甲、乙)其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A52种方法;第二步从余下的5位同学中选5位进行排列(全排列)有A55种方法,所以一共有A52 A55 =2400种排列方法.
解法二:若甲站在排头有A66种方法;若乙站在排尾有A66种方法;,乙不能排在排尾的排法共有 A77 -2 A66 + A55=2400种.
小结一:对于“在”与“不在”等有特殊元素或特殊位置的排列问题,通常是先排特殊元素或特殊位置,称为优先处理特殊元素(位置)法(优限法).
优限法
⑶甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种?
解:先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A66种方法;再将甲、乙两个同学“松绑” A22 =1440种.
拓展:①甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种?解:方法同上,一共有A55A33 =720种.
解法一:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾,有A52种方法;将剩下的4个元素进行全排列有A44种方法;最后将甲、乙两个同学“松绑” A44 A22 =960种方法.
②甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种?
解法二:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,若丙站在排头或排尾有2A55种方法,所以丙不能站在排头和排尾的排法有( A66 -2A55)· A22=960种方法.
小结二:对于相邻问题,常用“捆绑法”(先捆后松).
解法三:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的四个位置选择共有A41种方法,
再将其余的5个元素进行全排列共有A55种方法,最后将甲、乙两同学“松绑”,所以这样的排法一共有A41 A55 A22 =960种方法.
捆绑法
⑷甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种?
解法一:(排除法) A77-A66 A22 =3600
解法二:(插空法)先将其余五个同学排好有A55种方法,此时他们留下六个位置(就称为“空”),再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有A62种方法,
c
b
a
d
e
所以一共有A55 A62=3600种方法.
乙
甲