考研高数函数极限连续重要概念公式定理总结.doc

一、函数、极限、连续重要概念公式定理(一)数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义: 给定数列?? nx , 如果存在常数 A , 对任给 0??, 存在正整数 N , 使当 n N ?时, 恒有 n x A ?? ?, 则称 A 是数列?? nx 的当 n 趋于无穷时的极限, 或称数列?? nx 收敛于 A , 记为 lim nn x A ???.若?? nx 的极限不存在,则称数列?? nx 发散. 收敛数列的性质: (1) 唯一性: 若数列?? nx 收敛,即 lim nn x A ???,则极限是唯一的. (2) 有界性: 若 lim nn x A ???,则数列?? nx 有界,即存在 0M?,使得对 n?均有 n x M ?. (3) 局部保号性: 设 lim nn x A ???,且?? 0 0 A A ? ?或,则存在正整数 N ,当 n N ?时,有?? 0 0 n n x x ? ?或. (4) 若数列收敛于 A ,则它的任何子列也收敛于极限 A . (二)函数极限的定义名称表达式任给存在当…时恒有当 x x ?时,?? f x 以A 为极限?? lim f x A ? 0??0??0 x x ?? ???? f x A ?? ?当x ??时,?? f x 以A 为极限?? lim f x A ? 0??0X? x X ??? f x A ?? ?当0 x x ??时,?? f x 以A 为右极限???? lim 0 f x A def f x ?? ? ? 0??0?? x x x ?? ???? f x A ?? ?当0 x x ??时,?? f x 以A 为左极限???? lim 0 f x A def f x ?? ? ? 0??0?? x x x ?? ???? f x A ?? ?当x ???时,?? f x 以A 为极限???? lim f x A def f ?? ??? 0??0X? x X ??? f x A ?? ?当x ???时,?? f x 以A 为极限???? lim f x A def f ?? ??? 0??0X? x X ???? f x A ?? ?(三)函数极限存在判别法( 了解记忆) 1 .海涅定理: ?? lim x x f x A ?? ?对任意一串 0n x x ??? 0 , 1,2, n x x n ? ??,都有?? lim nn f x A ???. 2. 充要条件: (1)???? lim ( ) lim lim x x x x x x f x A f x f x A ?? ?? ? ??; (2) lim ( ) lim ( ) lim ( ) x x x f x A f x f x A ?? ??????? ? ??. 3. 柯西