函数的对称性及其应用 函数的对称性.docx

函数的对称性及其应用_函数的对称性
函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不=f(x)图像上，而点P与点P′关于点A(a,b)对称，充分性得征。
　　必修1中偶函数的定义：若函数f(x)，对于定义域中的任意x都有f(-x)=f(x)，则f(x)为偶函数。
　　由偶函数的定义知，偶函数的图象关于y轴（即直线x=0）对称。将这种轴对称的特点进行推广得到下面的性质。
　　定理2 函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a－x)，即f(x)=f(2a－x)。
　　可以仿照定理1的证明方法进行证明。
　　定理3 ①若函数y=f(x)图象同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。
　　②若函数y=f(x)图象同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。
　　③若函数y=f(x)图象既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4|a－b|是其一个周期。










　　①的证明：函数y=f(x)图象同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称，∴f(x)+f(2a－x)=2c，∴f(x)+f(2b－x)=2c,两式相减得
　　f(2a－x)=f(2b－x)，用x代2a－x得
　　f(x)=f(2b－2a+x)。
　　所以y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。
　　仿照①的证明过程②的证明留给读者，以下给出③的证明：
　　∵函数y=f(x)图象既关于点A(a,c)成中心对称，∴f(x)+f(2a－x)=2c。用2b－x代x，得
　　f(2b－x)+f\[2a－(2b－x)\]=2c。
　　又∵函数y=f(x)图象直线x=b成轴对称，
　　∴f(2b－x)=f(x)代入（*），得
　　f(x)=2c－f\[2(a－b)+x\]。（**）
　　用2（a－b）－x代x，得
　　f\[2(a－b)+x\]=2c－f\[4(a－b)+x\]，代入（**），得f(x)=f\[4(a－b)+x\],故y=f(x)是周期函数，且4|a－b|是其一个周期。
　　二、不同函数对称性的探究
　　定理4 函数y=f(x)与y=2b－f(2a－x)的图象关于点A(a,b)成中心对称。










　　定理5 ①函数y=f(x)与