四点共圆练习.docx

四点共圆练习
2 / 11
四点共圆
判定定理1：若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径．
判定定理2：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆．
判定定理3：对于凸四
四点共圆练习
2 / 11
四点共圆
判定定理1：若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径．
判定定理2：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆．
判定定理3：对于凸四边形ABCD，若对角互补，则A、B、C、D四点共圆.
判定定理4：相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD其对角线AC、BD交于P，
若PA·PC=PB·PD，则A、B、C、D四点共圆。
判定定理5：割线定理的逆定理：对于凸四边形ABCD两边AB、DC的延长线相交于P，
若PB·PA=PC·PD，则A、B、C、D四点共圆。
3 / 11
3：如图，四边形ABCD内接于⊙O，CB=CD=4，AC与BD相交于E，AE=6，线段BE和DE的长都是正整数，求BD的长
4 / 11
4：如图，OQ⊥AB，O为△ABC外接圆的圆心，F为直线OQ与AB的交点，BC与OQ交于P点，A、C、Q三点共线，求证：OA2=OP·OQ
5：如图，P是⊙O外一点，PA与⊙O切于点A，PBC是⊙O的割线，AD⊥PO于D，
5 / 11
求证：PB：BD=PC：CD
6：如图，直线AB、AC与⊙O分别相切于B、C两点，P为圆上一点，P到AB、AC的距离分别为6cm、4cm，求P到BC的距离
6 / 11
7： 在半⊙O中，AB为直径，直线CD交半圆于C、D，交AB延长线于M（MB<MA，AC<MD），设 K是△AOC与△DOB的外接圆除点O外的另一个交点，求证：∠MKO=90°

7 / 11
8：如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=a，求：四边形ABCD的面积（用a表示）
一、选择题
1、设ABCD为圆内接四边形，现给出四个关系式：(1)sinA=sinC； (2)sinA+sinC=0； (3)cosB+cosD=0； (4)cosB=cosD；其中总能成立的关系式的个数是( )
A、一个； B、两个； C、三个； D、四个；
2、下面的四边形有外接圆的一定是( )
A、平行四边形； B、梯形； C、等腰梯形； D、两个角互补的四边形；
3、四边形ABCD内接于圆，∠A：∠B：∠C=7：6：3，则∠D等于( )
A、36º； B、72º； C、144º； D、54º；
4、如图1，在四边形ABCD中，AB=BC=AC=AD，AH⊥CD于H，CP⊥BC交AH于P，若，AP=1，则BD等于( )
A、； B、2； C、3； D、；
5、对于命题：①内角相等的圆内接五边形是正五边形；
②内角相等的圆内接四边形是正四边形。以下四个结论
中正确的是( )
8 / 11
A、①，②都对； B、①对，②错；C、①错，②对； D、①，②都错；
二、填空题
6、如图2，△ABC中，∠B=60º，AC=3cm，则△ABC的外接圆半径为 。
7、如图3，△ABC中，∠ACB=65º，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，则∠AED= ,∠CED= 。
8、如图4，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD交△ABC的外接圆于E，已知AB=，BD=，BE=，则AE= ，DE＝ 。
9、如图5，正方形ABCD的中心为O，面积为1989，P为正方形内一点，且∠OPB=45º，PA：PB＝5：14，则PB= 。
10、如图6，四边形ABCD内接于以AD为直径的圆中，若AB和BC的长度各为1，，那么AD= 。
三、解答题
11、如图7，在△ABC中，AD为高线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
求证：B、C、F、E四点共圆。