6-7几何应用.ppt

6-7几何应用07397
2. 曲线为一般式的情况
光滑曲线
当
曲线上一点
, 且有
时,  可表示为
处的切向量为
则在点
切线方程
法平面方程
有
或
也可表为
法平面方程
例26-7几何应用07397
2. 曲线为一般式的情况
光滑曲线
当
曲线上一点
, 且有
时,  可表示为
处的切向量为
则在点
切线方程
法平面方程
有
或
也可表为
法平面方程
例2. 求曲线
在点
M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程.
切线方程
解法1 令
则
即
切向量
法平面方程
即
解法2. 方程组两边对 x 求导, 得
曲线在点 M(1,–2, 1) 处有:
切向量
解得
切线方程
即
法平面方程
即
点 M (1,–2, 1) 处的切向量
练面与法线
设 有光滑曲面
通过其上定点
对应点 M,
切线方程为
不全为0 .
则  在
且
点 M 的切向量为
任意引一条光滑曲线
下面证明:
此平面称为  在该点的切平面.
 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都
在同一平面上.
证:
在  上,
得
令
由于曲线  的任意性 ,
表明这些切线都在以
为法向量
的平面上 ,
从而切平面存在 .
曲面  在点 M 的法向量
法线方程
切平面方程
曲面
时,
则在点
故当函数
法线方程
令
特别, 当光滑曲面 的方程为显式
在点
有连续偏导数时,
切平面方程
切平面上点的竖坐标的增量
因为曲面在M处的切平面方程为
几何上解释一般方程表示的曲线的切向量
光滑曲线
例3. 求椭球面
在点(1 , 2 , 3) 处的切
平面及法线方程.
解:
所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:
切平面方程
即
法线方程
法向量
令
例4. 确定正数 使曲面
在点
解: 二曲面在 M 点的法向量分别为
二曲面在点 M 相切, 故
又点 M 在球面上,
于是有
相切.
与球面
, 因此有
1. 空间曲线的切线与法平面
切线方程
法平面方程
1) 参数式情况.
空间光滑曲线
切向量
内容小结
切线方程
法平面方程
空间光滑曲线
切向量
2) 一般式情况.
空间光滑曲面
曲面  在点
法线方程
1) 隐式情况 .
的法向量
切平面方程
2. 曲面的切平面与法线
空间光滑曲面
切平面方程
法线方程
2) 显式情况.
法向量
三、等值线、等值面、梯度的几何意义
称为函数 f 的等值线 .
例如,
梯度的几何意义：
等高线
梯度为等值线上的法向量
思考与练面
与椭球面
相切,
提示: 设切点为
则
(二法向量平行)
(切点在平面上)
(切点在椭球面上)
证明 曲面
上任一点处的
切平面都通过原点.
提示: 在曲面上任意取一点
则通过此
2. 设 f ( u ) 可微,
证明原点坐标满足上述方程 .
点的切平面为
1. 证明曲面
与定直线平行,
证: 曲面上任一点的法向量
取定直线的方向向量为
则
(定向量)
故结论成立 .
的所有切平面恒
备用题
2. 求曲线
在点(1,1,1) 的切线
解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为
因此切线的方向向量为
由此得切线:
法平面:
即
与法平面.
练 习 题
感谢您的关注