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63泰勒公式
二、皮亚诺型余项泰勒公式
皮亚诺(Peano,G.(意)1858-1932)

若函数f(x)在点x0处有n阶导数, 则有
其中
证
只需证明
即证明
8
只需证明
洛必达法则
导63泰勒公式
二、皮亚诺型余项泰勒公式
皮亚诺(Peano,G.(意)1858-1932)

若函数f(x)在点x0处有n阶导数, 则有
其中
证
只需证明
即证明
8
只需证明
洛必达法则
导数的定义
于是, 定理得证.
9
带有皮亚诺型余项
皮亚诺型余项.
称为f (x)在点x0处的n阶局部泰勒公式;
或称为
的泰勒公式.
称为
*
当对余项要求不高时,
可用皮亚诺型余项
n阶泰勒公式
麦克劳林(Maclaurin,C.(英)1698-1746)
泰勒公式化为
称为f (x)的n阶局部麦克劳林公式.
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解
代入上公式, 得
几个初等函数的麦克劳林公式
例
的n阶带有皮亚诺型余项的
麦克劳林公式.
因为
所以
带有皮亚诺型余项的麦克劳林(Maclaurin)公式
12
解
例
因为
所以
的n阶带有皮亚诺型余项的
麦克劳林公式.
得
n阶带有皮亚诺型余项的麦克劳林(Maclaurin)公式
代入公式:
13
与一个余项Rn (x)之和:
其中
n次多项式
(residual)
余项
三、拉格朗日型余项泰勒公式

导数,
14
称为f (x)的
泰勒多项式来逼近函数
下面将证明确实可以用
f (x), 并估计它的误差.
泰勒多项式.
15
分析
即证
也即证
其中
16
证
令
由要求
17
柯西定理
柯西定理
用1次
用2次
18
如此下去,
得
可得
即
用n+1次柯西定理,
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拉格朗日型余项
或称为f (x)在点x0处的带有拉格朗日型余项的n 阶
n次近似多项式.
n 阶泰勒公式.
泰勒公式.
20
注
1.
泰勒公式就是拉格朗日中值公式.
2. 在泰勒公式中,
这时的泰勒公式,
按x的幂(在零点)展开的泰勒公式;
n阶泰勒公式
带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式.
称为
或称为f (x)的
当要研究误差时,
可用拉格朗日型余项
21
麦克劳林(Maclaurin)公式
近似公式
误差估计式为
带有拉格朗日型余项
22
解
代入公式:
例
的n阶带有拉格朗日型余项
麦克劳林公式.
因为
所以
n阶带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式
得
23
的近似表达公式
有误差估计式
得到
其误差
其误差
24
解
例
因为
所以
的n阶带有拉格朗日型余项
麦克劳林公式.
25
误差为
26
泰勒多项式逼近
27
类似地, 有
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要熟记!
常用函数的麦克劳林公式
带皮氏余项
带拉氏余项
带皮氏余项
带拉氏余项
29
带皮氏余项
带拉氏余项
带皮氏余项
带拉氏余项
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带皮氏余项
带拉氏余项
31
解
练习
一阶和三阶泰勒公式及相应的拉格朗日型余项.
f (x)的一阶泰勒公式是
其中
三阶泰勒公式是
32
例
解
用间接展开的方法较简便.
两端同乘x, 得
带拉格朗日型余项的公式展开问题一般
注
不能用这种方法.
(带皮亚诺型余项).
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例
解
的带有拉格朗日型余项与
带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式, 并计算
用间接展开的方法较简便.
利用泰勒多项式的系数与函数的导数之间的关系
麦克劳林(Maclaurin)公式
34
例
解
已知x 和误差界, 要求确定项数n
四、一些应用
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满足要求.
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计算 的近似值,
,试确定x的适用范围.
近似公式的误差
例
用近似公式
解
已知项数 n 和误差界, 确定公式中 x 的适用范围.
令
解得
即
.
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解
因为分母是4阶无穷小,所以只要将函数展开到4阶无穷小的项就足以定出所给的极限了.
常用函数的泰勒展开求
例
型未定式
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像这类估值问题常用泰勒公式.
证
例
分析
利用泰勒公式可以证明某些命题及不等式.
带拉格朗日型