切线长定理弦切角和圆有关比.doc

切线长定理、弦切角、和圆相关的比
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切线长定理、弦切角、和圆相关的比
初三中考冲刺之几何证明、解答题技巧
切线长定理、弦切角、和圆相关的比率线段
定理的掌握。
切线长观点
切线长是在
图3
解：∵PC是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线，且PA：PB＝1：4
∴PB＝4PA
又∵PC＝12cm
由切割线定理，得
∴
∴，
∴
∴PB＝4×6＝24（cm）
∴AB＝24－6＝18（cm）
设圆心O到AB距离为dcm，
由勾股定理，得
故应填。
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，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE
的延伸线交BC于点D，（1）求证：；（2）若AB＝BC＝2厘
米，求CE、CD的长。
图4
点悟：要证，即要证△CED∽△CBE。
证明：（1）连接BE
（2）
。
又∵，
∴厘米。
点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添协助线，为利用弦切角定理创建条件。
，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延伸线于
E。
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图5
求证：
证明：连接BD，
∵AE切⊙O于A，
∴∠EAD＝∠ABD
∵AE⊥AB，又AB∥CD，
∴AE⊥CD
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADB＝90°
∴∠E＝∠ADB＝90°
∴△ADE∽△BAD
∴
∴
∵CD∥AB
∴AD＝BC，∴
，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。求证：AD·BC＝CD·AB
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图6
点悟：由结论AD·BC＝CD·AB得，显然要证△PAD∽△PBA和
△PCD∽△PBC
证明：∵PA切⊙O于A，
∴∠PAD＝∠PBA
又∠APD＝∠BPA，
∴△PAD∽△PBA
∴
同理可证△PCD∽△PBC
∴
∵PA、PC分别切⊙O于A、C
∴PA＝PC
∴
∴AD·BC＝DC·AB
，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB边为直径作⊙O，交斜边
BC于点D，过D点作⊙O的切线交AC于E。
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图7
求证：BC＝2OE。
点悟：由要证结论易想到应证OE是△ABC的中位线。而OA＝OB，只须证AE＝
CE。
证明：连接OD。
∵AC⊥AB，AB为直径
∴AC为⊙O的切线，又DE切⊙O于D
∴EA＝ED，OD⊥DE
∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB
在Rt△ABC中，∠C＝90°－∠B
∵∠ODE＝90°
∴
∴∠C＝∠EDC
∴ED＝EC
∴AE＝EC
∴OE是△ABC的中位线
∴BC＝2OE
，在正方形ABCD中，AB＝1，是以点B为圆心，AB长为半径的
圆的一段弧。点E是边AD上的随意一点（点E与点A、D不重合），过E作
所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点。
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当∠DEF＝45°时，求证点G为线段EF的中点；
图8
解：由∠DEF＝45°，得
，
∴∠DFE＝∠DEF
∴DE＝DF
又∵AD＝DC
∴AE＝FC
因为AB是圆B的半径，AD⊥AB，所以AD切圆B于点A；同理，CD切圆B于
点C。
又因为EF切圆B于点G，所以AE＝EG，FC＝FG