线性代数矩阵的相似对角化演示文稿.ppt

线性代数矩阵的相似对角化演示文稿
第一页，共三十页。
（优选）线性代数矩阵的相似对角化.
第二页，共三十页。
一、相似矩阵的基本概念与性质
1. 相似矩阵的概念
定义
对于 n 阶矩阵 A 和 B
第八页，共三十页。
1. 问题分析
(1) L 如何构成？
L 的主对角线上的元素由 A 的全部特征值构成。
由于 是 L 的 n 个特征值，
而 A 与 L 相似，
因此 就是 A 的 n 个特征值 .
记为
所考虑的问题是寻找可逆的 n 阶方阵 P ，使得
即
二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
第九页，共三十页。
1. 问题分析
(2) P 如何构成？
P 的列向量由 A 的线性无关的特征向量构成。
设
即
则由 有
于是有
又因为 P 可逆，
且 线性无关，
故
因此 是 A 的 n 个线性无关的特征向量 .
即
二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
第十页，共三十页。
A 有 n 个线性无关的特征向量，
推论
如果 n 阶矩阵 A 有 n 个不同的特征值，则矩阵 A 可以
相似对角化。
定理
n 阶矩阵 A 能够相似于对角矩阵 的充分必要条件是
1. 问题分析
2. 矩阵可相似对角化的条件
即 A 每个特征值所对
应的线性无关的特征向量的个数必须恰好等于该特征
值的重数。
二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
P145
定理

P146 推论2
P145
推论1
第十一页，共三十页。
三、矩阵相似对角化的方法步骤
步骤
(1) 求 n 阶方阵 A 的特征值
其重数分别为
(2) 对每一个特征值 求矩阵 A 特征向量，
并找出其中线性无关的特征向量，其最大个数为
(3) 若 则 A 不能相似对角化；
(4) 若
从而有
则以这些特征向量作为列向量构成矩阵 P，
第十二页，共三十页。
其中
个
个
个
三、矩阵相似对角化的方法步骤
步骤
(4) 若
从而有
则以这些特征向量作为列向量构成矩阵 P，
第十三页，共三十页。
三、矩阵相似对角化的方法步骤
(2) 因 是 的基础解系中的解向量，
故 的
因此 P 也不是唯一的。
(3) 由于 的根只有 n 个(重根按重数计算)，
所以
则 是唯一的。
如果不计特征值的排列顺序，
几点说明
(1) P 中的列向量(即特征向量)
的排列顺序要与
特征值的顺序一致。
取法不是唯一的。
第十四页，共三十页。
例
试将矩阵 相似对角化。
解
令
(三重根)
得 A 的特征值为
由
得 A 的特征向量为
显然，最多能找到两个线性无关的特征向量，
因此矩阵 A 不能相似对角化。
第十五页，共三十页。
例
将矩阵 相似对角化，并求
解
(1)由
得 A 的特征值为
对
对
取特征向量
令
则
(重根)
(单根)
取特征向量
第十六页，共三十页。
解
有
(2)由
例
将矩阵 相似对角化，并求
第十七页，共三十页。
则 P 可逆，
解
(1) 令
且
例
设三阶方阵 A 的三个特征值为 且
对应的特征向量分别是
求矩阵 A 和
第十八页，共三十页。
(2) 因此有
第十九页，共三十页。
证
(1) 由题意可知：
n 维基本向量 是 A 的特征向量，
例
设任意非零 n 维向量都是 n 阶方阵 A 的特征向量，
证明 A 为数量阵。
令
即
则存在 使得
第二十页，共三十页。
例
设任意非零 n 维向量都是 n 阶方阵 A 的