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G62几何应用
例4. 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解:
令
利用对称性
8
例4. 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解:
9
极坐标：
若而成的立体体积
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例4. 计算摆线
的一拱与 y＝0
所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
(利用对称性)
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绕 y 轴旋转而成的体积为
注意上下限 !
注
38
柱壳体积
说明:
柱面面积
40
偶函数
奇函数
41
例5 求位于曲线
与直线 y = 2 围成的
x = 0 到 x = 2 的一块平面图形，
绕 y 轴旋转所产
生的旋转体体积Vy。
解 先求簿圆柱壳体的体积
其高
从
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例6. 设
在 x≥0 时为连续的非负函数, 且
形绕直线 x＝t 旋转一周所成旋转体体积 ,
证明:
证:
利用柱壳法
则
故
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设平面图形 A 由
与
所确定 , 求
图形 A 绕直线 x＝2 旋转一周所得旋转体的体积 .
提示：
选 x 为积分变量.
旋转体的体积为
例7.
若选 y 为积分变量, 则
44
主讲教师:
王升瑞
高等数学
第三十四讲
45
并
与底面交成  角,
解: 如图所示取坐标系,
则圆的方程为
垂直于x 轴 的截面是直角三角形,
其面积为
利用对称性
计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .
2、平行截面面积为已知的立体体积
例1. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,
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思考: 可否选择 y 作积分变量 ?
此时截面面积函数是什么 ?
如何用定积分表示体积 ?
提示:
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垂直 x 轴的截面是椭圆
例2. 计算由曲面
所围立体(椭球体)
解:
它的面积为
因此椭球体体积为
特别当 a = b = c 时就是球体体积 .
的体积.
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例3. 求曲线
与 x 轴围成的封闭图形
绕直线 y＝3 旋转得的旋转体体积.
解: 利用对称性 ,
故旋转体体积为
在第一象限
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四、旋转体的侧面积 (补充)
设平面光滑曲线
求
积分后得旋转体的侧面积
它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .
取侧面积元素:
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侧面积元素
的线性主部 .
若光滑曲线由参数方程
给出,
则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的
不是薄片侧面积△S 的
注意:
侧面积为
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例1. 计算圆
x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .
解: 对曲线弧
应用公式得
当球台高 h＝2R 时, 得球的表面积公式
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例2. 求由星形线
一周所得的旋转体的表面积 S .
解: 利用对称性
绕 x 轴旋转
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内容小结
1. 平面图形的面积
边界方程
参数方程
极坐标方程
2. 平面曲线的弧长
曲线方程
参数方程方程
极坐标方程
弧微分:
直角坐标方程
上下限按顺时针方向确定
直角坐标方程
注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小
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3. 已知平行截面面面积函数的立体体积
旋转体的体积
绕 x 轴 :
4. 旋转体的侧面积
侧面积元素为
(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)
绕 y 轴 :
(柱壳法)
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思考与练习
A 及边界长 s .
提示: 交点为
弧线段部分
直线段部分
以 x 为积分变量 , 则要分
两段积分,
故以 y 为积分变量.
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2. 试用定积分求圆
绕 x 轴
上
半圆为
下
求体积 :
提示:
方法1 利用对称性
旋转而成的环体体积 V 及表面积 S .
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方法2 用柱壳法
说明: 上式可变形为
上
半圆为
下
此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示).
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求侧面积 :
利用对称性
上式也可写成
上
半圆为
下
它也反映了环面微元的另一种取法.
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作业
P284 2 (1) , (3) ; 5 (2) , (3) ;
8 (1) ; 9; 22; 25; 30
面积及弧长部分：
体积及表面积部分：
P284 12; 15 (