四点共圆基本性质及证明.docx

四点共圆
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为 “四点共圆”。四点共圆有三个性质：
（1） 共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；
（2） 圆内接四边形的对角互补；
（3） 圆内接四边形的外角画个证明图如后）
已知：四边形ABCD中，ZA+ZC=180°
求证：四边形ABCD内接于一个圆（A, B, C, D四点共圆）
证明：用反证法
过A, B, D作圆0,假设C不在圆0上，点C在圆外或圆内,
若点C在圆外，设BC交圆0于C',连结DC',根据圆内接四边形的性质 得ZA+ZDC, B=180° ,
V ZA+ZC=180° .\ZDC, B=ZC
这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。
.•.C在圆0上，也即A, B, C, D四点共圆。
证明方法
方法1
从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆周上，若 能证明这一点，即可肯定这四点共圆.
方法2
把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同 侧，若能证明其顶角相等（同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆。
几何描述：四边形ABCD中，ZBAC=ZBDC,则ABCD四点共圆。
证明：过ABC作一个圆，明显D一定在圆上。若不在圆上，可设射线BD与 圆的交点为D',那么ZBD' C=ZBAC=ZBDC,与外角定理矛盾。
方法3
把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等 于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
证法见上
方法4
把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成 的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆（相交弦定理的逆定理）；或把被证共 圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成 的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点 也共圆.（割线定理的逆定理）
上述两个定理统称为圆蓦定理的逆定理，即ABCD四个点，分别连接AB和CD, 它们（或它们的延长线）交点为P,若PAxPB=PCxPD,则ABCD四点共圆。
证明：连接 AC, BD, VPAxPB=PCxPD
/.PA/PC=PD/PB
•.* ZAPC=ZBPD
AAPC^ADPB
当P在AB, CD上时，由相似得ZA=ZD,且A和D在BC同侧。根据方法2可 知ABCD四点共圆。
当P在AB,CD的延长线上时，由相似得ZPAC=ZD,根据方法3可知ABCD四 点共圆。
方法5证被证共圆的点到某一定点的距离都相等， 成的四边形三边中垂线有交点，可肯定这四点共圆.
方法6
四边形ABCD中，若有ABxCD+ADxBC=ACxBD,即两对边乘积之和等于对角线 乘积，则ABCD四点共圆。该方法可以由托勒密定理逆定理得到。
托勒密定理逆定理：对于任意一个凸四边形ABCD,总有 ABxCD+ADxBCNACxBD,等号成立的条件是ABCD四点共圆。
A
如图，在四边形内作△ APB^ADCB （只需要作ZPAB=ZCDB, ZPBA=ZCBD即
可）
由相似得ZABP=ZDBC, ZBAP=ZBDC
... ZABP+ZPBD=ZDBC