三角函数变换及零点问题.doc

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三角函数图像变换及零点问题
一、图像变换知识点及经典例题
知识点1：平移变换：函数y＝f(x＋a)的图象可由y＝f学习必备 欢迎下载
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如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y＝f(x)在区间________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个____也就是f(x)＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理
知识点3：二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
与x轴的交点
________，
________
________
无交点
零点个数
________
________
________
题型1：函数零点的判断
例1：判断函数y＝ln x＋2x－6的零点个数
分析：判断函数零点个数最常用的方法是令f(x)＝0，转化为方程根的个数，解出方程有几个根，函数y＝f(x)就有几个零点，如果方程的根解不出，还有两种方法判断：方法一是基本方法，是利用零点的存在性原理，要注意参考单调性可判定零点的唯一性；方法二是数形结合法，要注意作图技巧．
解　方法一　设f(x)＝ln x＋2x－6，
∵y＝ln x和y＝2x－6均为增函数，
∴f(x)也是增函数．
又∵f(1)＝0＋2－6＝－4<0，f(3)＝ln 3>0，
∴f(x)在(1,3)上存在零点．又f(x)为增函数，
∴函数在(1,3)上存在唯一零点．
方法二　在同一坐标系画出y＝ln x与y＝6－2x的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数y＝ln x＋2x－6只有一个零点．
例2：若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是(　　)
A．多于4个 B．4个
C．3个 D．2个
答案B　[由题意知f(x)(x)－log3|x|＝0，得f(x)＝log3|x|，令y＝f(x)，y＝log3|x|，这两个函数都是偶函数，画两函数y轴右边的图象如图，两函数有两个交点，因此零点个数在x≠0，x∈R的范围内共4个．
题型2：利用函数的零点确定参数
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例1：已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围
解　若a＝0，f(x)＝2x－3，显然在[－1，1]上没有零点，所以a≠0.
令Δ＝4＋8a(3＋a)＝8a2＋24a＋4＝0，
解得a＝.
①当a＝时，f(x)＝0的重根x＝∈[－1,1]，
当a＝时，f(x)＝0的重根x＝∉[－1,1]，
∴y＝f(x)恰有一个零点在[－1,1]上；