复数概念第一章.ppt

第一节复数有关概念形如 z=x+yi 的数叫做复数(Complex number) ,其中 i是虚数单位1?(Imaginary unit) ,即1 2??i 。x与y为实数, 分别称为复数 z的实部(Real part) 与虚部(Imaginary part) ,记为 x=Rez , y=Imz 。在平面上取直角坐标系 oxy ,点(x,y) 对应复数 z=x+yi ,则全体复数就与平面上的点建立了一一对应关系。实数与 x轴上点一一对应,而虚数 yi与y 轴上点一一对应。而用 C 表示全体复数。有时用向量?op 来表示 z=x+yi ,x与y 分别为?op 在x 轴和 y 轴上的投影。向量?op 的长度称为复数 z的模,记为| z| 。显然有 22||yxrz???|||||| |,||| |,|||yxzzyzx????当0?z 时,向量?op 与x轴正向之间的夹角?叫做复数 z 的幅角(Argument) ,记为 Argz 。幅角的方向规定逆时针为正。显然,一个复数 z的幅角可以取无穷多个值,若 1?是复数 z的幅角,则1?=?+2k?(k 为整数)就表示了复数 z 的全部幅角。把其中介于-?与?的角叫做复数 z的主值,记为 argz ,于是有 Argz=argz+2k?(k 为整数) z=0 时幅角不确定。直角坐标与极坐标关系为?? sin , cos ryrx??复数 z 可以表示为) sin (cos ??irz??,复数的这种表示叫做复数 z 的三角表示(Trigonome tric form) 。由欧拉公式不难说明?i rez?,此称为复数的指数表示(Exponential form) 。例将复数iz212???化为三角、指数表示解4412 ||????zr , 由于 z 位于第三象限,故????6 5)12 2( tan )( tan 11????????x y 于是, )]6 5 sin( )6 5 [cos( 4??????iz iez )6 5(4 ?? 111??,iyxz 222??,则iyyxxzz)()( 212121?????iyxyxyyxxzz)()( 1221212121????定义复数 z 的共轭(Conju gat ion) yixz??,则2||zzz?。若0 2?z ,定义22 212 1||z zzz z??,则iyx yxyxyx yyxxz z 22 22 211222 22 21212 1??????不难说明复数运算满足下列规律 ???,1221zzzz? )()(zzzzzz?????,321321)()(zzzzzz? )(zzzzzzz???关于共轭运算有 ???, 1zzzz? 3.)()( 2 12 1z zz z? 4. ) Im( 2 ), Re( 2zizzzzz????另外有,| ||||| 2121zzzz?利用复数的指数表示, 111 ?ierz?,222 ?ierz?则)21 (2121 ???? ierrzz ,)21 (2 12 1 ???? ier rz z 即两复数相乘,其结果为模相乘而幅角相加;两复数相除, 其结果为模相除而幅角相减。复数的乘幂与方根. 设z为一复数, n为正整数,nz 表示 n个z 相乘,由于?i rez?,故nz =?? innnier re?)( 若n 为负整数,通过定义z z 1 1??,不难说明上式也成立。特别地,当 r=1 时,有所谓 De Moiver 公式????nini n sin cos ) sin (cos ???定义zwzw nn???。设?i rez?,?? iew?,由上面条件得????knr n2,???, 由此而来 n inerw ??=) 2 sin 2 (cos n kin kr n???????上式中当 k=0,1,…,(n -1) 时,得到 n个不同值。即 n 次方根结果为n 个不同复数。例求41i?由于i?1 =)4 sin 4 (cos 2 ??i?所以, 41i?)4 24 sin 4 24 (cos )2( 4 1????ki k????, k=0,1,2,3, 即有)16 sin 16 (cos 2 80??iw??)16 9 sin 16 9 (cos 2 81??iw??)16 17 sin 16 17 (cos 2 82??iw??)16 25 sin 16 25 (cos 2 83??iw??平面点集的一些概念邻域(Neighbourhood) : 复平面上以点 0z 为中心且以正数?为半径圆的内部点???|| 0zz 组成的集合称为点 0z 的?邻域;