多级火箭建模.ppt

§1为什么要用三级火箭来发射人造卫星构造数学模型,以说明为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭来发射人造卫星?为什么一般都采用三级火箭系统? 1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星? (1)卫星能在轨道上运动的最低速度假设: (i)卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆,卫星在此轨道上作匀速圆周运动。(ii)地球是固定于空间中的均匀球体,其它星球对卫星的引力忽略不计。分析: 根据牛顿第三定律,地球对卫星的引力为: 2 km Fr ?在地面有: 2 km mg R ?得: k=gR 2 R为地球半径, 约为 6400 公里故引力: 2R F mg r ? ??? ?? ?假设(ii) dm m-dm v u-v 假设(i) 卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力故又有: 2mFr ??从而: gRr ??设g= 米/秒 2,得: 卫星离地面高度(公里) 卫星速度(公里/秒) 100 200 400 600 800 1000 (2)火箭推进力及速度的分析假设: 火箭重力及空气阻力均不计分析: 记火箭在时刻 t的质量和速度分别为 m(t)和υ(t ) 2 ( ) ( ) ( ) dm m t t m t t O t dt ???????有: 记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为 u(常数), 由动量守恒定理: 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) dm m t t m t t t t t O t t u dt ? ? ?? ?? ??????????? ?? ?υ 0和m 0一定的情况下, 火箭速度υ(t) 由喷发速度 u及质量比决定。 d dm m u dt dt ???故: 由此解得: 00 ( ) ln ( ) m t u m t ? ?? ?? ?? ?? ?(1) (2)火箭推进力及速度的分析现将火箭——卫星系统的质量分成三部分: (i)m P(有效负载,如卫星) ( ii)m F(燃料质量) ( iii)m S(结构质量——如外壳、燃料容器及推进器)。最终质量为 m P +m S,初始速度为 0, 所以末速度: ln O P S mu m m ???根据目前的技术条件和燃料性能, u只能达到 3公里/秒,即使发射空壳火箭,其末速度也不超过 公里/秒。目前根本不可能用一级火箭发射人造卫星火箭推进力在加速整个火箭时,其实际效益越来越低。如果将结构质量在燃料燃烧过程中不断减少,那么末速度能达到要求吗? 2、理想火箭模型假设: 记结构质量 m S在m S + m F中占的比例为λ,假设火箭能随时抛弃无用的结构,结构质量与燃料质量以λ与( 1-λ)的比例同时减少。建模:由 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) ( ( ) ) ( ) dm dm m t t m t t t t t t t u t O t dt dt ? ?????? ????????????得到: (1 ) dv dm m u dt dt ??? ?解得: 0 ( ) (1 ) ln ( ) m t u m t ? ?? ?理想火箭与一级火箭最大的区别在于,当火箭燃料耗尽时,结构质量也逐渐抛尽,它的最终质量为 m P, 所以最终速度为: 0 (1 ) ln Pmum ? ?? ?只要 m 0足够大,我们可以使卫星达到我们希望它具有的任意速度。考虑到空气阻力和重力等因素,估计(按比例的粗略估计)发射卫星要使υ= 公里/秒才行,则可推算出 m 0 / m p约为 51, 即发射一吨重的卫星大约需要 50吨重的理想火箭 3、理想过程的实际逼近——多级火箭卫星系统记火箭级数为 n,当第 i级火箭的燃料烧尽时,第 i +1 级火箭立即自动点火,并抛弃已经无用的第 i级火箭。用 m i表示第 i级火箭的质量, m P表示有效负载。先作如下假设: (i)设各级火箭具有相同的λ,即i级火箭中λm i为结构质量,( 1-λ)m i为燃料质量。( ii)设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变, 并记比值为 k。考虑二级火箭: 由1式,当第一级火箭燃烧完时,其末速度为: 1 2 2 1 2 ln PP m m m u m m m ??? ??? ?当第二级火箭燃尽时,末速度为: 2