课题平面向量概念和表示.doc

课题：平面向量的概念及表示
江苏省常熟中学 黄健
一、教学目标
知识目标：理解向量的概念、几何表示及模的概念，会用字母表示向量；
认识零向量、单位向量，理解平行向量、共线向量、相等向量的含义，能在图形中辨认共线能举出一些生活中的只有大小、没有方向的量吗？
速度、质量、年龄、面积等。
注：由举例可见，我们在生活中会遇到很多量，其中一些量可以概括出单一的属性，如一支笔、一棵树等抽象出来就是数量1，也就是说它们只要用一个实数就可以表示。但还有一些量，它们存在双重属性，如位移、力等，它们既有大小又有方向，前人把些量进行了抽象概括，定义了一种新的量--------向量。
向量的定义：我们把既有大小又有方向的量称为向量。

问：定义概念后，我们研究什么？如何把向量表示出来？请你尝试把刚才所举例子中的向量表示出来？
让学生先尝试向量表示方法，自觉接受用带有箭头的有向线段表示向量（让学生在黑板上画，教师引导学生不断完善，如f上方加上箭头，标出单位长度等）
向量的几何表示：常用一条有向线段表示向量。（给出有向线段图形，指出有向线段三要素：起点、大小和方向）
引导：初中里我们还常用AB、a等表示线段，现在请大家思考如何用代数字母表示向量？
问：向量AB和向量BA表示同一个向量吗？如何用代数法表示向量？
向量的代数表示法：以A为起点、B为终点的有向线段，记作。(注意起终点顺序)。又可表示为。
引导：方向是向量的本质属性之一。向量的另一个本质属性是大小，我们有||表示，称为向量的摸。
向量的模：向量长度称为向量的模。 记作：。
注：因为向量既有大小又有方向，所以只用代数形式或几何形式的表示不了的，必须数形结合。

思考：在所有的平面向量中，有没有哪些向量比较特殊？
练习一：
(1)小船由A地向西北方向航行15海里到达B地，小船的位移如何表示？（用1cm表示5海里）
(2)小船由A地向西北方向航行15海里到达B地，由B地往东航行海里到达C地，再由C地向西南方向航行15海里到达D，小船的位移如何表示？
引导：问题（1）中如果把5海里作为一个单位长度，你想到什么？（引出长度为1的向量）
引导：问题（2）中的位移能不能用一个向量表示？这个向量有什么特别之处？有实际意义吗？（引出零向量）
零向量：长度为零的向量，记作
单位向量：长度等于1个单位的向量。
注：类比实数的经验，我们定义了零向量和单位向量。在代数中，0是正数和负数的分界点，可以区分数的正负，1是单位，作用很大。在后续的学习中，我们会体会到这两个特殊向量的作用。
思考：零向量和零有何区别，单位向量和单位长度有什么区别？
前者有方向
问：方向在哪里？
注：零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的。

互动：如图，中，AC和BD相交于O，选取图形中现有的若干向量，探求它们之间的关系。
引导：应关注哪些关系？（给学生留出足够的时间，参与概念的形成过程。教师适时介入说明数学中的向量是自由向量）
（1）关注方向；（2）关注长度（大小）；
（3）既关注方向和又关注大小。
注：本章学习的向量与起点无关，用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置，它们仅由方向和大小确定，称为自由向量。向量两