四点共圆基本性质及证明.docx

四点共圆
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为"四点共圆"。四点共圆有三个性质：
共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的外角等于内对角。
以上性质可以根据圆圆（A,B,C,D四点共圆）证明：用反证法过A,B,D作圆0,假设C不在圆O上，点C在圆外或圆内，
黄忠明
若点C在圆外，设BC交圆O于C',连结DC',根据圆内接四边形的性质得ZA+ZDC'B=1800,.•ZA+ZC=1800.•ZDC'B=ZC这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。
.••C在圆O上，也即A,B,C,D四点共圆。
2证明方法方法1
从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆周上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆.
方法2把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等（同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆。
几何描述：四边形ABCD中，/BAC=/BDC,贝UABCD四点共圆。
证明：过ABC作一个圆，明显D一定在圆上。若不在圆上，可设射线BD与圆的交点为D',那么/BD'C=/BAC=/BDC,与外角定理矛盾。
方法3
把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
证法见上方法4把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成
的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆（相交弦定理的逆定理）；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成
即可肯定这四点
的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积,也共圆.（割线定理的逆定理）上述两个定理统称为圆羸定理的逆定理，即ABCD四个点，分别簸B和CD,
它们（或它们的延长线）交点为P,若PAPB=PCPD,ABCD四点共圆。
证明：3AC,BD,・PAPB=PCPD■.PA/PC=PD/PB.•APC=ZBPDzAPCszDPB
当P在AB,CD上时，由相似得/A=ZD,且A和D在BC同侧。根据方法2可知ABCD四点共圆。
当P在AB,CD的延长线上时，由相似得ZPAC=ZD,根据方法3可知ABCD四点共圆。
方法5证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，，可肯定这四点共圆.
方法6
四边形ABCD中，若有ABCD+ADBC=ACBD,即两对边乘积之和等于对角线乘积，则BCD四点共圆。该方法可以由托勒密定理逆定理得到。
托勒密定理逆定理：对于任意一个凹四边形ABCD,总有
AB-CD+ADBC>ACBD,等号成立的条件是ABCD四点共圆。
如图，在四边形内作△APBs於CB（只需要作ZPAB=ZCDB,ZPBA=ZCBD即可）
由相似得/ABP=ZDBC,ZBAP=ZBDC•••ABP+ZPBD=ZDBC+ZPBD即ZABD=ZPBC乂由相似得AB:BD=PB:CB=AP:CD.•ABCD=BDAP,丛BDszPBC.•AD:BD=PC:BC即ADBC=BDPC
两个等式相加，得AB-CD+ADBC=BD・(