四点共圆基本性质及证明.docx

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四点共圆
假好像一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆,一般简称为
“四点共圆”。四点共圆有三个性质:
1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等;
2)圆内接四边形的对角互补;
3)圆内接四边形的外角等于内对角。
以上性质可以依照圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。
定理
判判定理
方法1:把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这
底边的同侧,若能证明其顶角相等,从而即可必然这四点共圆。
(可以说成:若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等,那么这二点和线
段二端点四点共圆)
方法2:把被证共圆的四点连成四边形,若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时,即可必然这四点共圆。
(可以说成:若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角,那么这四点共圆)
托勒密定理
若ABCD四点共圆(ABCD按序次都在同一个圆上),那么ABDC+BCAD=ACBD。
黄忠明
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例题:证明对于任意正整数n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数。
解答:归纳法。我们用归纳法证明一个更强的定理:对于任意n都存在n个
点使得所有点间两两距离为整数,且这n个点共圆,并且有两点是一条直径的两
端。n=1,n=2很轻松。当n=3时,一个边长为整数的勾股三角形即可:比方说
边长为3,4,5的三角形。我们发现这样的三个点共圆,边长最长的边是一条直
径。假设对于n大于等于3成立,我们来证明n+1。假设直径为r(整数)。找
一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形ABC
(边长a<b<c)。把原来的圆扩大到原来的c倍,并把一个边长为ra<rb<rc的
三角形放进去,使得rc边和放大后的直径重合。这个三角形在圆上面对应了第n+1个点,记为P。于是依照Ptolomy定理,P和已存在的所有点的距离都是一
个有理数。(考虑P,这个点Q和直径两端的四个点,这四点共圆,于是PQ是
一个有理数因为Ptolomy定理里的其他数都是整数。)引入一个新的点P增加了
n个新的有理数距离,记这n个有理数的最大公分母为M。最后只需要把这个新
的图扩大到原来的M倍即可。归纳法成立,故有这个命题。
反证法证明
现就“若平面上四点连成四边形的对角互补。那么这个四点共圆”证明以下
(其他画个证明图如后)
已知:四边形ABCD中,∠A+∠C=180°
求证:四边形ABCD内接于一个圆(A,B,C,D四点共圆)
证明:用反证法
过A,B,D作圆O,假设C不在圆O上,点C在圆外或圆内,
黄忠明
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若点C在圆外,设BC交圆O于C’,连接DC’,依照圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180°,
∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C
这与三角形外角定理矛盾,故C不可以能在圆外。近似地可证C不可以能在圆内。
∴C在圆O上,也即A,B,C,D四点共圆。
证明方法
方法1
从被证共圆的四点中先选出三点作一圆,尔后证另一点也在这个圆周上,若能证明这一点,即可必然这四点共圆.
方法2
把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同
侧,若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等),从而即可必然这四点共圆。
几何描述:四边形ABCD中,∠BAC=∠BDC,则ABCD四点共圆。
证明:过ABC作一个圆,明显D必然在圆上。若不在圆上,可设射线BD与
圆的交点为D',那么∠BD'C=∠BAC=∠BDC,与外角定理矛盾。
方法3
把被证共圆的四点连成四边形,若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时,即可必然这四点共圆。
证法见上
方法4
把被证共圆的四点两两连成订交的两条线段,若能证明它们各自被交点分成
的两线段之积相等,即可必然这四点共圆(订交弦定理的逆定理);或把被证共
圆的四点两两连接并延长订交的两线段,若能证明自交点至一线段两个端点所成
黄忠明
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的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积,即可必然这四点
也共圆.(割线定理的逆定理)
上述两个定理统称为圆幂定理的逆定理,即ABCD四个点,分别连接AB和CD,
它们(或它们的延长线)交点为P,若PAPB=PCPD,则ABCD四点共圆。
证明:连接AC,BD,∵PAPB=PCPD
∴PA/PC=PD/PB
∵∠APC=∠BPD
∴△APC∽△DPB
当P在AB,CD上时,由相似得∠A=∠D,且A和D在BC同侧。依照方法
2可
知ABCD四点共圆。
当P在AB,CD的延长线上时,由相似得∠PAC=∠D,依照方法3可知ABCD四点共圆。
方法5证被证共圆的点到某必然点的距离都相等,
成的四边形三边中垂线有交点,可必然这四点共圆.
方法6
四边形ABCD中,若有ABCD+ADBC=ACBD,即两对边乘积之和等于对角线乘积,则ABCD四点共圆。该方法可以由托勒密定理逆定理获取。
托勒密定理逆定理:对于任意一个凸四边形ABCD,总有
ABCD+ADBC≥ACBD,等号成立的条件是ABCD四点共圆。
如图,在四边形内作△APB∽△DCB(只需要作∠PAB=∠CDB,∠PBA=∠CBD即
可)
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黄忠明
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由相似得∠ABP=∠DBC,∠BAP=∠BDC
∴∠ABP+∠PBD=∠DBC+∠PBD
即∠ABD=∠PBC
又由相似得AB:BD=PB:CB=AP:CD
∴ABCD=BDAP,△ABD∽△PBC
∴AD:BD=PC:B,C即ADBC=BDPC
两个等式相加,得ABCD+ADBC=BD(PA+PC)≥BDAC,等号成立的充要条件
是APC三点共线
而APC共线意味着∠BAP=∠BAC,而∠BAP=∠BDC,∴∠BAC=∠BDC
依照方法2,ABCD四点共圆
方法7
若一点在一三角形三边上的射影共线,则该点在三角形外接圆上。
设有一△ABC,P是平面内与ABC不同样的点,过P作三边垂线,垂足分为别L,M,N,若L,M,N共线,则P在△ABC的外接圆上。
如图,PM⊥AC,PN⊥AB,PL⊥BC,且L,N,M在一条线上。
连接PB,PC,∵∠PLB+∠PNB=9°0+90°=180°
∴PLBN四点共圆
∴∠PLN=∠PBN,即∠PLM=∠PBA
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