四点共圆基本性质及证明.docx

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四点共圆
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为
“四点共圆”。四点共圆有三个性质：
1）共圆的四个点所连成同侧共把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形， 且两三角形都在这底边的 同
侧，若能证明其顶角相等 (同弧所对的圆周角相等），进而即可肯定这四点共圆。
几何描绘：四边形 ABCD中，∠BAC=∠BDC，则 ABCD四点共圆。
证明：过 ABC作一个圆，显然 D一定在圆上。若不在圆上，可设射线 BD与
圆的交点为 D'，那么∠BD'C=∠BAC=∠BDC，与外角定理矛盾。
方法3
把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
证法见上
方法4
把被证共圆的四点两两连成相交的两条 线段，若能证明它们各自被交点分红
的两线段之积相等， 即可肯定这四点共圆 （相交弦定理 的逆定理）；或把被证共
圆的四点两两连结并延伸相交的两线段， 若能证明自交点至一线段两个端点所成

黄忠明
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的两线段之积等于自交点至另一线段两头点所成的两线段之积， 即可肯定这四点
也共圆．（ 割线定理的逆定理）
上述两个定理统称为圆幂定理的逆定理， 即ABCD四个点，分别连结AB和CD,
它们（或它们的延伸线）交点为 P，若PAPB=PCPD，则ABCD四点共圆。
证明：连结AC,BD，∵PAPB=PCPD
∴PA/PC=PD/PB
∵∠APC=∠BPD
∴△APC∽△DPB
当P在AB,CD上时，由相像得∠A=∠D，且A和D在BC同侧。根据方法
2可
知ABCD四点共圆。
当P在AB,CD的延伸线上时，由相像得∠PAC=∠D，根据方法3可知ABCD四点共圆。
方法5 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，进而确定它们共圆．即连
成的四边形三边中垂线有交点，可肯定这四点共圆．
方法6
四边形ABCD中，若有ABCD+ADBC=ACBD，即两对边乘积之和等于对角线乘积，则ABCD四点共圆。该方法能够由托勒密定理逆定理获得。
托勒密定理逆定理：关于随意一个凸四边形 ABCD，总有
ABCD+ADBC≥ACBD,等号建立的条件是 ABCD四点共圆。
如图，在四边形内作△APB∽△DCB（只要要作∠PAB=∠CDB,∠PBA=∠CBD即
可）
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黄忠明
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由相像得∠ABP=∠DBC，∠BAP=∠BDC
∴∠ABP+∠PBD=∠DBC+∠PBD
即∠ABD=∠PBC
又由相像得 AB:BD=PB:CB=AP:CD
∴ABCD=BDAP，△ABD∽△PBC
∴AD:BD=PC:B，C即ADBC=BDPC
两个等式相加，得ABCD+ADBC=BD(PA+PC)≥BDAC,等号建立的充要条件
是APC三点共线
而APC共线意味着∠BAP=∠BAC，而∠BAP=∠BDC，∴∠BAC=∠BDC
根据方法 2，ABCD四点共圆
方法7
若一点在一三角形三边上的射影共线，则该点在三角形外接圆上。
设有一△ABC，P是平面内与ABC不同的点，过P作三边垂线，垂足分为别L,M,N，若L,M,N共线，则P在△ABC的外接圆上。
如图，PM⊥A