离散傅里叶变换(DFT)(图).docx

离散傅里叶变换( DFT )(图) 上一回说到,在离散傅里叶级数( DFS )中,离散时间周期序列在时域是离散的 n,其频谱是离散频率周期序列,在频域也是离散的 k,理论上解决了时域离散和频域离散的对应关系问题。但由于其在时域和频域都是周期序列,所以都是无限长序列。无限长序列在计算机运算上仍然是无法实现的。为此我们必须取有限长序列来建立其时域离散和频域离散的对应关系。一、 DFS 的主值序列上一回讨论我们知道,离散时间周期序列是一个无限长序列,其傅立叶级数展开式为( 1) 可以看出时间点序号n是以N为周期的,如果只取其一个周期,称之为的主值序列: (2) 主值序列 x( n)就是一个长度为 N的有限长离散时间序列。同理, 的 DFS 也是一个无限长序列,即傅立叶系数: (3) 也可以看出频率点序号 k也是以 N为周期的,如果只取其一个周期,称之为的主值序列: (4) 主值序列 X( k)是一个长度为 N的有限长离散频率序列。可见,离散时间周期序列在时域和频域的主值序列,均为有限长离散序列。且主值序列的长度均为 N(即 n,k=0,1,2,…,N-1)。二、离散傅里叶变换( DFT )的定义在离散傅立叶级数( DFS )中,取其时域和频域的主值序列,变换仍然成立。这就是离散傅里叶变换( DFT ),即: (5) 和其逆变换( IDFT ):( 6) 可见离散傅里叶变换( DFT )只不过是特殊的离散傅立叶级数( DFS ),如果其时域和频域都仅取主值序列。离散傅立叶级数( DFS )中的无限长序列和都是以 N为周期的周期序列,所以在计算离散时间周期序列及其频谱时,可以利用 DFS 的周期性, 只需要在时域和频域各取一个主值序列,用计算机各计算一个周期中的 N个样值,最后将所得的主值序列 x( n)和 X( k)进行周期延拓,即可得到原来的无限长序列和。三、 DFT 的推广应用由 DFT 的导入过程可以发现, DFT 不仅可以解决无限长周期序列的计算机运算问题,而且更可以解决有限长序列的计算机运算问题。事实上,对于有限长离散序列,总可以把时域和频域的变换区间(序列长度)均取为 N(包括适当数量的补 0点),通常把 N称之为等间隔采样点数,我们可以把这个 N点的变换区间视为某个周期序列的一个主值序列,直接利用 DF T的定义计算其 N点变换。在N点 DFT 中,无论时域还是频域,变换区间的采样点数都只有 N个(即 n,k=0,1,2,…,N-1),所以我们不妨定义一个变换因子(7) 则 DFT 的定义式( 5)和(