精品文档 你我共享 最小二乘法基本原理： 成对等精度测得一组数据， 试找出一条最佳的 拟合曲线，使得这条曲线上的各点值与测量值的平方和在所有的曲线 中最小。我们用最小二乘法拟合三次多项式。 最小二 i 0 （ 3）是关于 a0 , a1 , an 的线性方程组，用矩阵表示为 m m m m 1 xi xin a0 yi m i 0 i 0 i 0 m m m xi xi2 xin 1 a1 xi yi i 0 i 0 i 0 i 0 m m m an m xin xin 1 xi2n xin yi (4) i 0 i 0 i 0 i 0 式（ 3）或式（ 4）称为正规方程组或法方程组。 腹有诗书气自华 精品文档 你我共享 可以证明，方程组（ 4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。 从式（ 4）中解出 a k (k=0,1, ⋯， n) ，从而可得多项式 n ak xk pn (x) k 0 (5) 可以证明，式（ 5）中的 pn (x) 满足式（ 1），即 pn ( x) 为所求的拟合多项式。我 m 2 pn ( xi ) yi pn ( x) 的平方误差，记作 们把 i 0 称为最小二乘拟合多项式 2 m 2 pn (xi ) yi r 2 i 0 由式 (2) 可得 m n m 2 yi2 ak ( xik yi ) r 2 (6) i 0 k 0 i 0 多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步： 由已知数据画出函数粗略的图形 —— 散点图，确定拟合多项式的次数 n； m m (2) xij ( j 0,1, ,2n) xij yi ( j 0,1, ,2n) 列表计算 i 0 和 i 0 ； (3) 写出正规方程组，求出 a0 , a1 , an ； n ak x k (4) pn ( x) 写出拟合多项式 k 0 。 在实际应用中， n m 或 n m ；当 n m 时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛 顿插值多项式。 例 1 测得铜导线在温度 Ti ( ℃ ) 时的电阻 Ri ( ) 如表 6-1 ，求电阻 R 与温度 T 的近似函数关系。 i 0 1 2 3 4 5 6
