(完整word版)最小二乘法(word文档良心出品).docx

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最小二乘法基本原理：成对等精度测得一组数据，试找出一条最佳的拟合曲线，使得这条曲线上的各点值与测量值的平方和在所有的曲线中最小。我们用最小二乘法拟合三次多项式。
最小二乘法又称曲线拟合，所谓的“拟合”就是不要求曲线完
4
5
6
r-(C)







R(0)
i







解画出散点图(图6-2)，可见测得的数据接近一条直线，故取n=1，拟合函
数为
列表如下
i
T
i
R
i
T2
i
TR
ii
0




1




2




3




4




5




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6








正规方程组为
_7

a
-


0a

1
解方程组得
a=,a=
01
故得R与T的拟合直线为
R=+
利用上述关系式，可以预测不同温度时铜导线的电阻值。例如，由R=0得T=-，即预测温度T=-°C时，铜导线无电阻。
85-.
80-*
75-
O103050T
6-2
例2例2已知实验数据如下表
解设拟合曲线方程为
y=a+ax+ax2
012
列表如下
I
x.
y.
x2
x3
x4
xy
ii
x2y
ii
0
1
10
1
1
1
10
10
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1
3
5
9
27
81
15
45
2
4
4
16
64
256
16
64
3
5
2
25
125
625
10
50
4
6
1
36
216
1296
6
36
5
7
1
49
343
2401
7
49
6
8
2
64
512
4096
16
128
7
9
3
81
729
6561
27
243
8
10
4
100
1000
10000
40
400
53
32
381
3017
25317
147
1025
得正规方程组
0
9
52
52
381
381
3017
a—,
381Ta
3017a
i
25317a
2
32
=147
1025
解得
故拟合多项式为
a——
1

y——+
*三最小二乘拟合多项式的存在唯一性
定理1设节点x°，%，…,xn互异，则法方程组（4）的解存在唯一。
证由克莱姆法则，只需证明方程组（4）的系数矩阵非奇异即可。
用反证法，设方程组（4）的系数矩阵奇异，则其所对应的齐次方程组
i—0
x2
i
i—0
VV
厶Xn厶Xn+1
ii
i—0i—0
区Xn
i
夕0
Xn+1
i
i—0•
a
0
a
1
—
書y[
i
£0
Xy
ii
i—0•
区X2n
i
i—0
a
n
£Xny
ii
i—0
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有非零解。式(7)可写为
j二0,1,…,n
xj+k)a=0,
ikk=0i=0
严)ak0=0
k=0i=0
将式(8)中第j个方程乘以J(j=0,l,…，n