三角函数知识点总结及同步练习.docx

必修四第一章三角函数

一、任意角和弧度制
1、 角的概念的推广
定义：一条射线0A由原来的位置，绕着它的端点0按一定的方向旋转到另一位置0B, 就形成了角a,记作：角a或/a 可以简记成a。
注意：（1）“旋，以及。的大 小，只表明与a的终边相同的角所在的位置；
根据相似三角形的知识，对于确定的角。，六个比值不以点Rx，y）在a的终边上的位置 的改变而改变大小；
JI
a =——k兀0 e Z）
当 2 时，a的终边在*轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于°,所以
y r x 尸
tan ol — — sec ex, — _ coycc = _ esc a = 一
X与 X无意义;同理，当1 =奴（腥曲时， y与 y无意义;
z £ Z - L -
除以上两种情况外，对于确定的值a,比值尸、r、x、＞、x、＞分别是一个确定的 实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函 数，以上六种函数统称为三角函数。
三角函数的定义域、值域
函数
定义域
值域
y = sin a
R
[-1,1]
y = cosa
R
[-1,1]
y = tan。
ji
{a | a 更 5 + kn. k e Z}
R
三角函数的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
z
正弦值，对于第一、二象限为正对于第三、四象限为负（尹＜0/ ＞0）；
x
余弦值,对于第一、四象限为正（X〉°/〉O）,对于第二、三象限为负（》＜0/〉0）；
2
正切值X对于第一、三象限为正（X/同号），对于第二、四象限为负（X，异号）.
说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。
sin a
csca为正
全正
正弦、
.I
余割
余弦
y/
、正割
+
tana
cota为正
cos a
seca为正
——A
+
正切、余切
四、 诱导公式
1、 由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。
即有：
sin（cr + 2&） = sin。，
cos0 + 2k/r） = cos a , 苴中 k eZ
tan0 + 2k7r） = tan a
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0〜2兀间角的三角函数值问题.
2、 三角函数诱导公式（七兀 + a）的本质是：奇变偶不变（对*而言，指左取奇数或偶数）,
2
符号看象限（看原函数，同时可把a看成是锐角）.
诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成
2ki+tz,0<a<2;r； （2）转化为锐角三角函数
五、 三角函数线的定义：
设任意角a的顶点在原点°,始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点
由四个图看出:
当角a的终边不在坐标轴上时，有向线段0M = x,MP = y,于是有
sma = — = — = y = MP
r 1
x x c
cos a = — = — = x = OM
r 1
y MP AT e
tan a- — - = = AT
x OM OA
我们就分别称有向线段mp,om,at为正弦线、余弦线、正切线。
三条有向线段的位置：正弦线为a的终边与单位圆的交点到X轴的垂直线段；余弦 线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位 圆内，一条在单位圆外。
三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向々的终边与单位圆的交点；余弦线由原点 指向垂足；正切线由切点指向与a的终边的交点。
三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或＞轴同向的为正值，与x轴或＞轴反 向的为负值。
三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
注:
(1)三角函数线的特征是：正弦线MP "站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线0M "躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站在点2(1,0)处(起点是/)” .
(2 )三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式o
六、同角三角函数的基本关系式:
(1) 平方关系:sin2 a + cos2。= 1,1 + tan2 a = sec2 + cot2 a - esc2 a
(2)倒数关系： sino esc a=1,cos a sec。=1,tana cota=l, / \ iE/j- y. -zr . sin cc . cos oc
(3) 冏数天条：tan or = ,cota =
cos。 sin。
同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此