椭圆曲线知识点与讲义.doc

1 圆锥曲线一、知识点讲解一、椭圆:(1)椭圆的定义: 平面内与两个定点 21,FF 的距离的和等于常数(大于|| 21FF )的点的轨迹。其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距。注意: ||2 21FFa?表示椭圆; ||2 21FFa?表示线段 21FF ;||2 21FFa?没有轨迹; (2)椭圆的标准方程、图象及几何性质: 中心在原点,焦点在 x 轴上中心在原点,焦点在 y 轴上标准方程)0(1 2 22 2????bab ya x)0(1 2 22 2????bab xa y 图形xOF 1F 2P yA 2A 1B 1B 2xOF 1F 2P yA 2B 2B 1 顶点),0( ),,0( )0,( ),0,( 21 21bBbB aAaA??),0( ),,0( )0,( ),0,( 21 21aBaB bAbA??对称轴 x 轴,y 轴;短轴为 b2 ,长轴为 a2 焦点)0,( ),0,( 21cFcF?),0( ),,0( 21cFcF?焦距)0(2|| 21??ccFF 222bac??离心率)10(???ea ce (离心率越大,椭圆越扁) 通径22ba (过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段) :(1)椭圆)0(1 2 22 2????bab ya x 的两个焦点为 21,FF ,过1F 的直线交椭圆于 BA, 两点,则2 ABF ?的周长=(2)设椭圆)0(1 2 22 2????bab ya x 左、右两个焦点为 21,FF ,过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于 QP, 两点, 则QP, 的坐标分别是?|| PQ 二、例题讲解。例1、已知椭圆的中心在原点,且经过点?? 03, P ,ba3?,求椭圆的标准方程. 分析: 因椭圆的中心在原点,,运用待定系数法, 求出参数 a 和b (或 2a 和2b )的值,即可求得椭圆的标准方程. A 1 2 解: 当焦点在 x 轴上时,设其方程为?? 01 2 22 2????bab ya x . 由椭圆过点?? 03, P ,知1 09 22??ba .又ba3?, 代入得 1 2?b ,9 2?a , 故椭圆的方程为 19 2 2??y x . 当焦点在 y 轴上时,设其方程为?? 01 2 22 2????bab xa y . 由椭圆过点?? 03, P ,知1 09 22??ba .又ba3?, 联立解得 81 2?a ,9 2?b , 故椭圆的方程为 1981 22?? xy . 例2、 ABC ?的底边 16 ? BC , AC 和 AB 两边上中线长之和为 30, 求此三角形重心 G 的轨迹和顶点 A 的轨迹. 分析:(1 )由已知可得 20 ?? GB GC ,再利用椭圆定义求解. (2 )由 G 的轨迹方程 G 、A 坐标的关系,利用代入法求 A 的轨迹方程. 解: (1 )以 BC 所在的直线为 x 轴, BC G 点坐标为?? yx, ,由 20 ?? GB GC ,知G 点的轨迹是以 B 、C 为焦点的椭圆, ?a ,8?c ,有6?b , 故其方程为?? 0136 100 22???y yx . (2 )设?? yxA, ,?? yxG ?