椭圆曲线知识点与讲义.doc

该【椭圆曲线知识点与讲义 】是由【莫比乌斯】上传分享，文档一共【8】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【椭圆曲线知识点与讲义 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。圆锥曲线
一、知识点讲解
一、椭圆:(1)椭圆的定义:平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹。
其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距。
注意:表示椭圆;表示线段;没有轨迹;
(2)椭圆的标准方程、图象及几何性质:
中心在原点,焦点在轴上
中心在原点,焦点在轴上
标准方程
图形
x
O
F1
F2
P
y
A2
A1
B1
B2
A1
x
O
F1
F2
P
y
A2
B2
B1
顶点
对称轴
轴,轴;短轴为,长轴为
焦点
焦距
离心率
(离心率越大,椭圆越扁)
通径
(过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段)
:(1)椭圆的两个焦点为,过的直线交椭圆于两点,则的周长=
(2)设椭圆左、右两个焦点为,过且垂直于对称轴的直线交椭圆于两点,则的坐标分别是
二、例题讲解。
例1、已知椭圆的中心在原点,且经过点,,求椭圆的标准方程.
分析:因椭圆的中心在原点,,运用待定系数法,
求出参数和(或和)的值,即可求得椭圆的标准方程.
解:当焦点在轴上时,设其方程为.
由椭圆过点,,代入得,,故椭圆的方程为.
当焦点在轴上时,设其方程为.
由椭圆过点,,联立解得,,故椭圆的方程为.
例2、的底边,和两边上中线长之和为30,求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹.
分析:(1)由已知可得,再利用椭圆定义求解.
(2)由的轨迹方程、坐标的关系,利用代入法求的轨迹方程.
解:(1)以所在的直线为轴,,由,知点的轨迹是以、为焦点的椭圆,,,有,
故其方程为.
(2)设,,则.①
由题意有代入①,得的轨迹方程为,其轨迹是椭圆(除去轴上两点).
例3、已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点到两焦点的距离分别为和,过点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.
解:设两焦点为、,且,..
从知垂直焦点所在的对称轴,所以在中,,
可求出,,从而.
∴所求椭圆方程为或.
例4、已知椭圆方程,长轴端点为,,焦点为,,是椭圆上一点,,.求:的面积(用、、表示).
分析:求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边,从而利用求面积.
解:如图,设,由椭圆的对称性,不妨设,由椭圆的对称性,:·.①
由椭圆定义知:②,则得.
故.
三、习题讲解。
一、选择题。
+y2=6的长轴的端点坐标是
A.(-1,0)､(1,0)B.(-6,0)､(6,0)C.(-,0)､(,0)D.(0,-)､(0,)
+8y2=1的短轴的端点坐标是
A.(0,-)、(0,)B.(-1,0)、(1,0)C.(2,0)、(-,0)D.(0,2)、(0,-2)
+2y2=1的焦点坐标是
A.(0,-)、(0,)B.(0,-1)、(0,1)C.(-1,0)、(1,0)D.(-,0)、(,0)
(a>b>0)的准线方程是
.

.
、F2为椭圆(a>b>0)的两个焦点,过F2作椭圆的弦AB,若
△AF1B的周长为16,椭圆离心率,则椭圆的方程是
.
,且过点(2,0)的椭圆的标准方程是

(k>0)具有
､短轴
(a,1)在椭圆的内部,则a的取值范围是
A.-<a<<-或a>C.-2<a<2D.-1<a<1
,P(x,y)是椭圆上一点,则|FP|等于
+---ex
二、填空题
(0,6),中心到准线的距离等于10,则此椭圆的标准方程是______.
.
､F2是椭圆的两个焦点,AB是过焦点F1的弦,若︱AB︳=8,则︱F2A︳+︱F2B︳的值是

(1,1),F1是5x2+9y2=45椭圆的左焦点,点P是椭圆的动点,则|PA|+|PF1|的最小值是__________.
=1-x交椭圆mx2+ny2=1于M,N两点,弦MN的中点为P,若KOP=_______________.
,则此椭圆的离心率是______.
=9,离心率为,则此椭圆的标准方程是_______________.
(1,0)的距离与到定直线x=8的距离之比为的动点P的轨迹方程是.
+2y2=2的两个焦点为F1和F2,B为短轴的一个端点,则△BF1F2的外接圆方程是______________.
(0,1)是椭圆x2+4y2=4上的一点,P是椭圆上的动点,当弦AP的长度最大时,则点P的坐标是_________________.
三、简答题。
1、已知动圆过定点,且在定圆的内部与其相内切,求动圆圆心的轨迹方程.
2、已知椭圆及直线.
(1)当为何值时,直线与椭圆有公共点?
(2)若直线被椭圆截得的弦长为,求直线的方程.
3以椭圆的焦点为焦点,过直线上一点作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,点应在何处?并求出此时的椭圆方程.
4已知长轴为12,短轴长为6,焦点在轴上的椭圆,过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于,两点,求弦的长.
1:D2:.(±)
1、分析:关键是根据题意,列出点P满足的关系式.
解:如图所示,,
即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径,
即.∴点的轨迹是以,为两焦点,
半长轴为4,半短轴长为的椭圆的方程:.
说明:本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,.
2、解:(1)把直线方程代入椭圆方程得,
即.,解得.
(2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为,,由(1)得,.
根据弦长公式得:..
说明:处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区别.
这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式;解决弦长问题,一般应用弦长公式.
用弦长公式,若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系),可大大简化运算过程.
3分析:椭圆的焦点容易求出,按照椭圆的定义,本题实际上就是要在已知直线上找一点,使该点到直线同侧的两已知点(即两焦点)的距离之和最小,只须利用对称就可解决.
解:如图所示,椭圆的焦点为,.
点关于直线的对称点的坐标为(-9,6),直线的方程为.
解方程组得交点的坐标为(-5,4).此时最小.
所求椭圆的长轴:,∴,又,
∴.因此,所求椭圆的方程为.
为.
4分析:可以利用弦长公式求得,
也可以利用椭圆定义及余弦定理,还可以利用焦点半径来求.
解:(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.
.因为,,,
所以椭圆方程为,左焦点,从而直线方程为.
由直线方程与椭圆方程联立得:.设,为方程两根,所以,,,从而.
(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解.
由题意可知椭圆方程为,设,,则,.
在中,,即;
,用余弦定理得,所以.
(法3)利用焦半径求解.
先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根,,它们分别是,的横坐标.
再根据焦半径,,从而求出.