离散傅里叶变换.ppt

离散傅里叶变换
说明：序列x(n)的N点DFT是其Z变换在单位圆上的N点等角距取样，(a)。序列x(n)的DFT是其FT在区间[0,2π]上的N点等间隔取样。(b)。
DFT的隐含周期性
m))N
(3) 移位和取主值 x2((-m))N————x2((n-m))NRN(m)
(4)相乘 x2((n-m))NRN(m) ————x1(m) x2((n-m))NRN(m)
(5)相加 summ{0,1,……,N-1}
循环反转序列
Note: 两个长度为N的序列的循环卷积长度仍为N，（与线性卷积不同），记为：
循环卷积计算说明：x1(n)的N个值按顺时针方向均匀分布在内圆周上，x2(n)的N个值按反时针方向均匀分布在外圆周上，把内外圆周上对应的数值两两相乘，然后把乘积相加就得到y(0)。若将外圆周顺时针方向转动一格，将内外圆周上对应的数值两两相乘并把乘积相加，便得到y(1)。依次类推，可以得出y(n)的其它值。因此循环卷积也叫做圆卷积。
考虑到DFT关系的对偶性，可以证明，长为N的两序列之积的DFT等于它们的DFT的循环卷积除以N，即
频域循环卷积定理
复共轭序列的DFT
是长度为N的序列x(n)的复共轭序列，
则
且
类似
Note：对实序列有
DFT的共轭对称性
1. 有限长共轭对称序列和共轭反对称序列
分别用xep(n)和xop(n) 表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列， 则二者满足如下定义式：
xep(n)=x*ep(N-n), 0≤n≤N-1 ()
xop(n)=-x*op(N-n), 0≤n≤N-1 ()
当N为偶数时， 将上式中的n换成N/2-n可得到
图 共轭对称与共轭反对称序列示意图
（图中*表示对应点为序列取共轭后的值）
如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样， 任何有限长序列x(n)都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和， 即
x(n)=xep(n)+xop(n), 0≤n≤N-1 ()
将上式中的n换成N-n， 并取复共轭， 再将式() 和式() 代入得到
  x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n)=xep(n)-xop(n) ()
xep(n)=1/2［x(n)+x*(N-n)］ ()
xop(n)=1/2［x(n)-x*(N-n)］ ()
2. DFT的共轭对称性
(a) 若将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)，即
x(n)=xr(n)+jxi(n)
根据复共轭序列的DFT可得
再由DFT的线性性质可得
(b) 若将序列x(n)分成共轭对称部分xep(n)与共轭反对称部分xop(n)，即
x(n)=xep(n)+xop(n)
根据复共轭序列的DFT可得
因此
结论：
如果序列x(n)的DFT为X(k),则
x(n)的实部和虚部（包括j）的DFT分别为X(k)的共轭对称分量和共轭反对称分量；
x(n)的共轭对称部分和共轭反对称部分的DFT分别为X(k)的实部和虚部乘以j.
有限长实序列DFT的共轭对称性：
对长度为N的实序列，X(k)=DFT[x(n)]，则
X(k)共轭对称，即
若x(n)=x(N-n),则X(k)实偶对称，即
若x(n)=-x(N-n)，则X(k)纯虚奇对称，即
这意味着，对于时间有限信号，可以像频带有限信号进行时域采样而不丢失任何信息一样，可以在频域上进行采 样而不丢失任何信息。这正是傅里叶变换中时域和频域对偶关系的反映，这有着十分重要的意 义。DFT实现了频域离散化，开辟了在频域采用数字技术处理的新领域。
这使我们自然想到，对于任意一个频率特性，是否均能用频域采样的办法来逼近，这是一个很吸引人的问题，因为用频率采样来逼近，可使问题大大简化。因此我们要