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圆的切线证明
1（2011中考）、如图,PA为。0的切线,A为切点，过A作OP的垂线AB,垂足
为点C,交。0于点B,延长BO与。0交于点D,与PA的延长线交于点E,⑴
求证:PB为。0的切线;
2已知。O中,AB就是直径，过B点作半径为6的。0上,过点C作AC〃BD交0B的延长线于点A,连接CD,已知ZCDB=Z 0BD=30° .
⑴求证:AC就是。。的切线；
求弦BD的长;
求图中阴影部分的面积.
5、 (2010北京中考)已知:如图，在AABC中,D就是AB边上一点，圆。过D、B、C三点,ZDOC=2ZACD=90°o
求证:直线AC就是圆。的切线；
如果ZACB=75°,圆0的半径为2,求BD的长。
6、 (2011・北京)如图，在△ ABC,AB=AC,以AB为直径的。0分别交AC、 A BC于点
D、E,点F在AC的延长线上，且/CBF号/CAB. /彳
⑴求证:直线BF就是。。的切线； B\~^}
B F
例6、已知(DO的半径OA_LOB,点P在OB的延长线上，连结AP交。O于D,过D作。O的切线CE 交OP于C,求证:PC=CDo
点悟:要证PC=CD,可证它们所对的角等，即证ZP=ZCDP,又OAXOB,故可利用同角(或等角)的 余角相等证题。
证明：连结OD,。
.•.ZEDA+ZODA=90°
V0AX0B
.\ZA+ZP=90° ,
XVOA=OD,
.•.ZODA=ZA, ZP=ZEDA
VZEDA=ZCDP,
A ZP= ZCDP, ...PC=CD
点拨:在证题时，有切线可连结切点的半径，利用切线性质定理得到垂直关系。
「
7 (2013 年广东省 9 分)如图,。0 就是 RtAABC 的外接圆,ZABC=90。,弦 BD=BA,AB=12,BC=5,BE_LDC
交DC的延长线于点E、
(1)求证:ZBCA=ZBAD;
(2)求DE的长;
求证:BE就是。O的切线。
【答案】解：(1)证明:VBD=BA, ZBDA=ZBADo
ZBCA=ZBDA(圆周角定理),
ZBCA=ZBADo
(2)VZBDE=ZCAB (圆周角定理),ZBED=ZCBA=90°,
A ABED-ACBA,/. — = — o AC AB
•.•BD=BA = 12,BC=5".根据勾股定理得:AC=13。
DF 144
A—= —JW：DE = —
12 13
锦元数学工作室绘制
证明:连接OB,OD,
AB = DB
在ZXABO 与左DBO 中,L { BO = BO ,
OA = OD
... AABO^ADBO(SSS)o
.•.ZDBO=ZABOo
ZABO=ZOAB= ZBDC,.*. ZDBO=ZBDC» .I OB 〃ED。
,.•BE±ED,.*.EB±BO» .*.OB±BEo
VOB就是。O的半径，.-.BE就是。O的切线。
8.(7分)(2013*珠海)如图,。。经过菱形ABCD的三个顶点A、C, D,且与AB相切于点A
求证:BC为。O的切线；
求ZB的度数
考点：切线的判定与性质;菱形的性质.
分析：(1)连结OA、OB、OC、BD根据切线的性质得OA±AB,B