如何学好圆锥曲线.doc

一、[学法指导]怎样学好圆锥曲线圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合. 借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质及直线与圆锥曲线的位置关系,从数学家笛卡尔开创了坐标系那天就已经开始. 高考中它依然是重点,主客观题必不可少,易、中、难题皆有. 为此需要我们做到: 1. 重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质. 这些都是圆锥曲线的基石,高考中的题目都涉及到这些内容. 2. 重视求曲线的方程或曲线的轨迹,此处作为高考解答题的命题对象难度较大. 所以要掌握住一般方法:定义法、直接法、待定系数法、相关点法、参数法等. 3. 加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习. 此处一直为高考的热点. 这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题,因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决. 这样加强了对数学各种能力的考查. 4. 重视对数学思想、方法进行归纳提炼,达到优化解题思维、简化解题过程. (1) 方程思想解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线,因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理,就简化解题运算量. (2) 用好函数思想方法对于圆锥曲线上的一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量, 从而使一些线的长度及 a,b,c,e 之间构成函数关系,函数思想在处理这类问题时就很有效. (3) 掌握坐标法坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法. 近几年都考查了坐标法, ,主要涉及位置关系的判定, 弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等. 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次”,有利于选拔的功能. ●案例探究[例 1]如图所示,抛物线 y 2 =4 x的顶点为 O,点A的坐标为(5,0),倾斜角为 4 ?的直线 l与线段 OA 相交(不经过点 O或点 A)且交抛物线于 M、N两点,求△ AMN 面积最大时直线 l的方程,并求△ AMN 的最大面积. 命题意图:直线与圆锥曲线相交,一个重要的问题就是有关弦长的问题. 本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法——“韦达定理法”.属★★★★★:弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想. 错解分析:将直线方程代入抛物线方程后,没有确定 m 的取值范围. :涉及弦长问题,应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长,涉及垂直关系往往也是利用韦达定理,:由题意,可设 l的方程为 y=x+m,-5<m<0. 由方程组??????xy mxy4 2,消去 y,得x 2 +(2 m-4)x+m 2 =0①∵直线 l与抛物线有两个不同交点 M、N, ∴方程①的判别式Δ=(2 m-4) 2-4m 2 =16(1 -m)>0,解得 m<1,又- 5<m<0,∴m的范围为(-5,0) 设M(x 1,y 1 ),N(x 2,y 2)则x 1+x 2 =4 -2m,x 1·x 2=m 2,∴| MN |=4)1(2m?. 点A到直线 l的距离为 d=2 5m?.∴S △=2(5+ m)m?1 ,从而 S △2 =4(1 -m )(5+ m) 2 =2(2 -2m)· (5+ m )(5+ m)≤2(3 5522mmm?????) 3 =128. ∴ S △≤ 82 ,当且仅当 2- 2m =5+ m,即 m=- 1时取等号. 故直线 l的方程为 y=x- 1,△ AMN 的最大面积为 82 . [例 2 ]已知双曲线 C:2x 2-y 2 =2 与点 P (1, 2) (1) 求过 P (1, 2) 点的直线 l 的斜率取值范围,使 l与C 分别有一个交点,两个交点,没有交点. (2) 若Q (1, 1) ,试判断以 Q 为中点的弦是否存在. 命题意图:第一问考查直线与双曲线交点个数问题,归结为方程组解的问题. 第二问考查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法——“差分法”,属★★★★★级题目. 知识依托:二次方程根的个数的判定、两点连线的斜率公式、中点坐标公式. 错解分析:第一问,求二次方程根的个数,忽略了二次项系数的讨论. 第二问,算得以 Q 为中点弦的斜率为 2 ,就认为所求直线存在了. 技巧与方法:涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率,弦的中点坐标联系起来, 相互转化. 解: (1) 当直线 l 的斜率不存在时, l 的方程为 x=1, 与曲线 C 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y- 2=k(