2020-2021学年山西省运城市永济董村乡董村中学高二数学理联考试题含解析.docx

2020-2021学年山西省运城市永济董村乡董村中学高二数学理联考试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 直线被圆截得的弦长为（    ）
A．   。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）=x3+ax2+b的图象上一点P（1，0），且在P点处的切线与直线3x+y=0平行．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[0，t]（0＜t＜3）上的最大值和最小值；
（3）在（1）的结论下，关于x的方程f（x）=c在区间[1，3]上恰有两个相异的实根，求实数c
的取值范围．
参考答案：
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）利用导数的几何意义求出a，根据函数过（1，0）点，求出b，即可求出函数f（x）的解析式；
（2）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求出函数f（x）在区间[0，t]（0＜t＜3）上的最大值和最小值；
（3）构造函数，研究构造函数的性质尤其是单调性，列出该方程有两个相异的实根的不等式组，求出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）因为f′（x）=3x2+2ax，曲线在P（1，0）处的切线斜率为f′（1）=3+2a，
即3+2a=﹣3，
所以a=﹣3；
又因为函数过（1，0）点，
即﹣2+b=0，
所以b=2，
所以f（x）=x3﹣3x2+2
（2）由f（x）=x3﹣3x2+2，f′（x）=3x2﹣6x，
令f′（x）=0，可得x=0或x=2，
①当0＜t≤2时，在区间（0，t）上f′（x）＜0，
可得f（x）在[0，t]上是减函数，
所以f（x）max=f（0）=2，
f（x）min=f（t）=t3﹣3t2+2；
②当2＜t＜3时，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况见下表：
x
0
（0，2）
2
（2，t）
t
f′（x）
0
﹣
0
+
+
f（x）
2
递减
﹣2
递增
t3﹣3t2+2
f（x）min=f（2）=﹣2，
f（x）max为f（0）与f（t）中较大的一个，
f（t）﹣f（0）=t3﹣3t2=t2（t﹣3）＜0，
所以f（x）max=f（0）=2，
综上，函数f（x）在区间[0，t]（0＜t＜3）上的最大值是2，最小值是﹣2．
（3）令g（x）=f（x）﹣c=x3﹣3x2+2﹣c，g′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）．
在x∈上，g′（x）＞0．要使g（x）=0在上恰有两个相异的实根，
则，解得﹣2＜c≤0．
19. 设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若，c=5，求b．
参考答案：
【考点】HQ：正弦定理的应用；HS：余弦定理的应用．
【分析】（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由△ABC为锐角三角形可得答案．
（2）根据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值．
【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，
根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，
由△ABC为锐角三角形得．
（Ⅱ）根据