线段比例关系的证明问题.doc

(二)线段比例关系的证明问题
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【例1】(盐城市,1997)如图,两圆内切于T,大圆的弦AB切小圆于C,TA、TB与小圆分别相交于E、F,FE的延长线交两圆的公切线TP于点P。求证:(1)CE = CF;(2)AC·PF = BC·PT;
O
P
T
E
C
B
A
F
·
O′
·
O
P
E
D
B
A
C
【例2】(宿千市,1999)如图,⊙O和⊙O′相交于A、B,且⊙O′过⊙O的圆心。直线OO′交⊙O于C、D两点,交⊙O′于P点,AB与OO′交于E点。求证:(1)PA 2 = PE·PO;(2)PE·EO = CE·ED;(3);
【例3】(深圳市,1999)如图,⊙O和⊙O′外切于P,两圆的外公切线切⊙O于点M、切⊙O′于点N,A为切线外一点,AM、AN的延长线分别交⊙O于点B,交⊙O′于点C。
求证:(1)∠MPN = 90°;(2)当∠A = 90°时,B、P、C为一直线;(3)若PD⊥MN,垂足为D,⊙O的半径为R,⊙O′的半径为r,则
【例4】(青岛市,2001)已知:如图,⊙O1与⊙O2外切于点P,AB为⊙O1、⊙O2的外公切线,切点分别为A、B,连心线O1O2分别交⊙O1于D,交AB于C。连结AD、AP、BP。
A
O2
O1
·
·
P
D
C
B
求证:(1)AD // BP;(2)CPCO1 = CDCO2;(3);
【热点考题训练】
1、(四川省,2001)已知:如图,AB为⊙O的直径,AC为弦,CD⊥AB于D,若AE = AC,BE交⊙O于点F,连CF、DE。求证:(1)AE 2 = AD·AB;(2)∠ACF =∠AED。
·
F
C
E
B
A
O
D
·
E
F
D
M
C
B
A
O
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2、(哈尔滨市,2001)已知:如图,CD是△ABC外角∠MCA的平分线,CD与三角形的外接圆交于点D。(1)若∠BCA = 60°,求证:△ABD为等边三角形;(2)设点F为AD上一点,且AF = BC,DF的延长线交BA的延长线于电E。求证:AC·AF = DF·FE。
3、(新疆维吾尔族自治区,1997)已知:如图,⊙O1与⊙O2相交于点A、B,点O2在⊙O1上,AD是⊙O2的直径,连结DB并延长交⊙O1于点C。求证:;
O1
·
O2
D
C
B
A
·
T
D
·
O2
C
E
B
A
O1
4、(连云港市,1997)如图,已知⊙O1与⊙O2相交于点B和点C,A是⊙O1上的另一点,AB与AC的延长线分别交⊙O2于点D和E,如果CB与DE相交于点F。过点A的⊙O1的切线与BC的延长线交于点T。求证:;
F
O
·
D
E
C
B
A
5、(扬州市,1997)如图,以O为圆心的两个圆中,大圆的弦AB与小圆相切于C,AD与小圆相切与D,DC的延长线与大圆相交于E。求证:(1)∠ABE =∠AED;(2)AD 2 = EC·ED;(3)AB = AE;
6、(黄冈市,1996)如图,⊙O2经过⊙O1的圆心O1且与⊙O2相交于点A和B,AC为⊙O1的直径,直线CB交⊙O2于D,AD交⊙O1于E,BE的延长线交⊙O2于F,连结AF、FD。
B
A
O1
·
F
E
D
C
·
O2
求证:(1)DA = DC;(2)⊙O1与⊙O2的周长之比等于AE∶AF;
B
A
C
D
H
O
F
E
7、(黄冈市,1998)如图,⊙O是△ABC的外接圆,BC是直径,以顶点A为圆心,AB长为半径的圆交⊙O于F点,交B于G点(AB<OB),AD⊥BC于D,AD与BF交于E点,OF交⊙A于H点。求证:(1)△ABE是等腰三角形;(2);
8、(四川省南充市,2001)已知:如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠BAC的平分线交BC于点E,交⊙O于点D,CF // BD,交AD于点F,过点C作AD的垂线交AD于点G,交AB于点K。
O
K
D
·
F
C
B
A
E
H
求证:(1)FK = FC;(2)AB·FK = AD·CE;
O
·
M
P
D
C
B
A
9、(福州市,1997)如图,PM是⊙O的切线,M为切点,PAB和PCD均是⊙O的割线,它们与⊙O的交点分别为A、B、C、D,且AB·PD = BC·AD。求证:(1)∠DAP =∠BAC;(2)△PAC∽△DAB;(3)PM 2 – PA 2 = AC·AD;
B
A
D
C
P
10、(天津市,2000)如图,两圆内切于P,大圆的弦AB切小圆于点C。PC的延长线交大圆于点D。求证:(1)∠