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(word)应用同余解题l六年级奥数
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第八讲应用同余解题
在五年级我们已初步学习了同余的有关知识．同余在解答竞赛题中有着广泛的应用．在这一讲：用除方法可知：13│191919．
∵1919×2＝3838，而3│3837，
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即1919个“1919〞有3838个“19〞，三组三组取走“19〞后还剩下一组．
∴a≡19〔mod13〕．
∴a≡6〔mod13〕．
即a除以13余数是6．
例7求被3除余2，被5除余3，被7除余5的最小三位数．解：设x为所求数，
由题意
〔3〕即x＝7k＋5〔k是整数〕．代入〔2〕得
7k＋5≡3〔mod5〕，
2k≡3〔mod5〕，
2k≡8〔mod5〕．
k≡4〔mod5〕，即k＝5m＋4〔m是整数〕．
x＝7k＋5＝7〔5m＋4〕＋5＝35m＋33，
上式代入〔1〕得：
35m＋33≡2〔mod3〕，
2m≡2〔mod3〕，
∴m≡1〔mod3〕，即m＝3t＋1〔t是整数〕．
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x＝35m＋33＝35〔3t＋1〕＋33＝105t＋68，
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当t＝1，x＝173．
∴所求的最小三位数173．
例8出12个彼此不同的两位数，明：由它中一定可以出两个数，它的差是两个相同数字成的两位数．
分析道要考到以下三点．
①两位数的数相同，它一定能被 11整除．
②遇到数是任意的，需排个序，表述起来比方便．
③用12个数中最大的数依次地分减去其余11个数可得到11个差．假设差中有相同数成的两位数，得；假设差中没有合条件的
两位数， 11个〔差〕数各自除以 11，所得余数只可能在｛ 1，2，
3，⋯，10｝中，必有两个差数的余数相同，考用余数造抽解．
明：12个两位数从小到大排列：
10≤a1＜a2＜⋯＜a11＜a12≤99，
用a12分减去其余的数，得差：
b1＝a12－a1，b2＝a12－a2，⋯，b11＝a12－a11．
①假设上面11个差中有某个差bi能被11整除，即11│〔a12－ai〕，那么已出数a12与ai的差bi是两个相同数成的两位数．
②假设11个差均不能被11整除，按不能被11整除的余数造10个抽，余数相同者入同一抽，根据抽原理，11个差数中，一定存在两数bm、bn于模11同余，即：bm－bn≡0〔mod11〕，
即〔a12－am〕－〔a12－an〕≡0〔mod11〕，
即an－am≡0〔mod11〕，即11│〔an－am〕，
即差an－am是一个由相同数成的两位数．合〔1〕、〔2〕得．
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