求数列通项公式的常用方法.doc

求数列通项公式的常用方法
张国庆 数列与高中数学的其他知识有着紧密的联系,具有较强的综合性和实用性,而数列的通项公式是数列的核心内容之一,它如同函数中的解析式一样,有了解析式便可研究其性质等;而有了数列的通项公式便可求出任一项及求数列通项公式的常用方法
张国庆 数列与高中数学的其他知识有着紧密的联系,具有较强的综合性和实用性,而数列的通项公式是数列的核心内容之一,它如同函数中的解析式一样,有了解析式便可研究其性质等;,求数列的通项公式往往是解题的突破口,.
一、观察法
例1:根据数列的前4项,写出它的一个通项公式:
(1)9,99,999,9999,…
(2)1,1/2,1/4,1/8,…
解:(1)变形为:10-1,10-1,10-1,10-1,……
∴通项公式为:10-1
(2)变形为:1/2,1/2,1/2,1/2,……
∴通项公式为:1/2
观察法就是要抓住各项的特点,关键是找出各项与项数n的关系.
二、定义法
例2:已知数列{a}是公差为d的等差数列,数列{b}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列,若函数f(x)=(x-1),且a=f(d-1),a=f(d+1),b=f(q+1),b=f(q-1),求数列{a}和{b}的通项公式.
解:(1)∵a=f(d-1)=(d-2),a=f(d+1)=d
∴a-a=d-(d-2)=2d
∴d=2
∴a=a+(n-1)d=2(n-1)
又b=f(q+1)=q,b=f(q-1)=(q-2)
由q∈R,且q≠1,得q=-2
∴b=b?q=4?(-2)
当已知数列为等差或等比数列时,可直接利用等差或等比数列的通项公式,只需求得首项及公差公比.
三、叠加法
例3:已知数列6,9,14,21,30,…,求此数列的一个通项.
解:已知a-a=3,a-a=5,…,a-a=2n-1,…
各式相加得:a-a=3+5+…+(2n-1)=n-1
∴a=n+5
四、叠乘法
例4:设数列{a}是首项为1的正项数列,且满足(n+1)a-na+aa=0,求数列{a}的通项公式.
解:∵(n+1)a-na+aa=0,可分解为[(n+1)a-na](a+a)=0
又∵{a}是首项为1的正项数列,∴a+a≠0,∴(n+1)a-na=0,由此得出:a=2a,2a=3a,…,(n-1)a=na,这n-1个式子,将其相乘得:a=na,又∵a=1,∴a=,∵n=1也成立,∴a=(n∈N*).
五、归纳、猜想法
如果给出了数列的前几项和能求出数列的前几项,我们就可以先根据前几项的规律,归纳猜想出数列的通项公式,再用数学归纳法证明之.
例5:已知数列{a}满足a=1,S=a,求通项a.
解析:由a=1,当n=2时,a+a=a,a=2a=2,当n=3时,a+a+a=2a,a=3,同理可得a=4,……猜想得a=n,下面用数学归纳法证明.
(1)当n=1,2,3时,已验算成