平面几何证明常用方法.docx

目录
弓I言
利用平行四边形性质添加平行线证题
利用圆中的等量关系巧作辅助圆证题…
利用平移、旋转，翻折，几何证明中的三种基本变换证题
反证法证题
巧用面积法解几何题
结论
参考文献
致谢
平面几何两条，常可通过 添加平行线，将某些线段“送"到恰当位置，以证题.
例3在AABC中,BD、CE为角平分线,、
AB、此'的垂线,M、N、： A
N
eA
PM+PN=PQ. 叫 尊
证明：如图3,过点P作AB的平行线交BQ 于F,过点F作的平行线分别交PQ、AC 于 K、G,连 PG.
由BD平行/ABC,可知点F到AB, BC =PN.
显然搭=藉=斜可知EE。
由CE平分ZBCA,=，
PM+ PN= PK+ KQ=PQ.
这里，通过添加平行线，将用“掐开”成两段，证得PM=PK,就有PM+PN=PQ. 证法非常简捷.
为了线段比的转化
由于“平行于三角形一边的直线截其它两边，所得对应线段成比例"，在一些问 题中，可以通过添加平行线， 会经常遇到的.
例4 设Mi、Nh是△ABC的边上的点，且BMi = CM2M作一直线分别交瘟、 AC, AMX, AM2 f- P, Q、N\、：
AB , AC AM. . AM,
AP AQ AN】 AN 2
证明：如图4,若PQ//BC,易证结论成立.
若PQ与PQ
PM=PK,
PM+PN=PQ.
M\、M：
△ABC
BC
AB, AC, A" AM2
P、Q、N［、M
AB , AC AM, . AM,
AP AQ AN】 AN 2
PQ//BC
PQ与
3。不平行，设PQ交直线BC
E.
由 BMi = CM2,可知 BE+ CE=MXE+
M2E,易知
A
AB _ BE AC _ CE
AP DE' AQ DE
AM, _ MXE AM, _ M2E
AN[ DE ' AN2 DE '
AB , AC BE + CE + AM, . AM, ' AP AQ DE DE AN, AN,
", AB . AC AM, . AM,
所以，一+ —=—— +—— .
AP AQ AN】 AN 2
这里，仅仅添加了一条平行线，将求证式中的四个线段比“通分"，使公分母 为庞,于是问题迎刃而解.
例5 AD是AABC的高线,K为AD上一点,BK交AC于E,: ZFDA=ZEDA.
证明：如图5,过点A作的平行线，分
别交直线DE、DF、BE、以于Q、P、
N、M.
日处BD KD DC
显然，一=—=—— .
AN KA AM
右，D BDAM
有
有和=3
BC
有 BD AM=DC AN.
.AP AF AM
由 ——=—=——, BD FB BC
.AQ AE AN DC EC BC
对比⑴、(2)、⑶有
AP= Q的中垂线，故AD平分ZPDQ.
所以，ZFDA= ZEDA.
这里，原题并未涉及线段比，添加3。的平行线，就有大量的比例式产生，恰当 地运用这些比例式，就使AP与AQ的相等关系显现出来.
为了线段相等的传递
当题目给出或求证某点为线段中点时，应注意到平行线等分线段定理，用平 行线将线段相等的关系传递开去.
例6 在左ABC中,AD是3。边上的中线，点M在AB边上，点N在AC边上，并 且ZMDN=90°.如果 BM2 + C^2=DM2+D^2，求证：AD2= (AB2+AC2).决 证明：如图6,过点3作AC的平行线交ND w/7_\
.
由BD=DC,可知ED= B ——' C
ABED^,BE=NC. '、，：/'°
显然,=MN. g
由 BM2+BE2 = BM2+NC2=MD2+DN2=MN2 = EM2，可知△ BEM 为直圈6E 角 形，ZMBE=90。.有
ZABC+ ZACB =/ABC+/EBC=90°.
于是,ZBAC= 90°. 所以
这里，添加AC的平行线，将BC的以。为中点的性质传递给珈，使解题找到 出路.
例7如图7,朋为半圆直径,D为AB上一点，
分别在半圆上取点E、R使EA=DA,FB=〃作的垂线，: CD斗分EF.
证明：如图7,分别过点从夕作朋的垂线，G、〃为垂足,连仙、幽易知
D&=FS=AB>