导数中求参数取值范围.doc

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导数中求参数的取值范围
求参数取值范围的方法
，恒建立转变为最值问题
，联合零点和单一性解不等式

x－ x＋1 2＝
x x＋1 2
，g(1)＝ 0.
①当 a≤2，x∈(1，＋ ∞)时， x2＋2(1－ a)x＋ 1≥ x2－2x＋ 1＞ 0，故 g′(x)＞0，
g(x)在(1，＋ ∞)上单一递加，所以 g(x)＞ 0；
②当 a＞ 2 时，令 g′ (x)＝0 得 x1＝a－1－ a－ 1 2－ 1，x2＝a－ 1＋ a－ 1 2－ 1.
由 x2＞1 和 x1x2＝1 得 x1＜1，故当 x∈(1， x2)时， g′ (x)＜ 0， g(x)在(1，x2)上
单一递减，所以 g(x)＜0.
综上， a 的取值范围是 (－ ∞， 2]．
3．(2016 ·全国乙卷 )已知函数 f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2 有两个零点．
(1)求 a 的取值范围；
(2)设 x1， x2 是 f(x)的两个零点，证明： x1＋x2<2.
解： (1)f ′(x)＝ (x－1)ex＋ 2a(x－1)＝ (x－1)(ex＋2a)．
①设 a＝0，则 f(x)＝ (x－2)ex， f(x)只有一个零点．
②设 a>0，则当 x∈(－∞， 1)时， f ′(x)<0；
当 x∈ (1，＋ ∞ )时， f′ (x)>0，
所以 f(x)在(－∞， 1)内单一递减，在 (1，＋ ∞)内单一递加．
a
又 f(1)＝－ e，f(2)＝ a，取 b 知足 b<0 且 b<ln 2，
则 f(b)>a(b－ 2)＋a(b－1)2＝ a b2－3b >0，
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故 f(x)存在两个零点．
③设 a<0，由 f ′(x)＝ 0 得 x＝1 或 x＝ln( － 2a)．
e
若 a≥ －2，则 ln(－ 2a)≤ 1，
故当 x∈(1，＋ ∞)时，
f ′(x)>0，所以 f(x)在(1，＋ ∞)内单一递加．
又当 x≤1 时， f(x)<0，所以 f(x)不存在两个零点．
e
若 a<－2，则 ln( －2a)>1，
故当 x∈(1，ln( －2a))时， f ′(x)<0；
当 x∈ (ln( －2a)，＋ ∞ )时， f′(x)>0.
所以 f(x)在(1， ln( － 2a))内单一递减，在 (ln( －2a)，＋ ∞)内单一递加．
又当 x≤1 时， f(x)<0，所以 f(x)不存在两个零点．
综上， a 的取值范围为 (0，＋ ∞ )．
(2)证明：不如设 x1<x2，由 (1)知， x1∈(－ ∞，1)， x2∈(1，＋ ∞)，2－ x2∈ (－ ∞ ，1)，又 f(x)在(－∞， 1)内单一递减，
所以 x1＋x2<2 等价于 f(x1)> f(2－ x2)，即 f(2－ x2)<0.
因为 f(2－x2)＝－ x2e2－ x2＋a(x2－ 1)2，
而 f(x2)＝(x2－