阿波罗尼斯圆.docx

阿波罗尼斯圆
一、适用题型
1、已知两个线段长度之比为定值；
2、过某动点向两定圆作切线，若切线张角相等；
3、向量的定比分点公式结合角平分线；
4、线段的倍数转化；
y2
a
.
|PB|
a(a 0)
(x
c)2
y2
化简得 (1 a 2 ) x 2 2c(1 a 2 ) x c2 (1 a 2 ) (1 a 2 ) y 2 0.
当 a
1时,得 x22c(1
a2 )
x c2
y 2
0 ，整理得 ( x 1
a 2
c) 2
y 2
( 2ac
) 2 .
1
a2
a 2
1
a 2
1
当 a=1 时，化简得 x=0.
所以当 a
1时， P 点的轨迹是以 ( a 2
1 c,0) 为圆心， |
2ac
|为半径的圆；
a2
1
a 2
1
当 a=1 时， P 点的轨迹为 y 轴.
例 3
（2005 江苏高考数学） 如图，圆 O1
与圆 O2 的半径都是
1，
P
O1O2
4 ，过动点 P 分别作圆 O1 . 圆 O2 的切线 PM、 PN（分别为切点） ，
M
N
O1
使得 PM
2PN 试建立适当的坐标系，并求动点
P 的轨迹方程
O2
解：以 O1 O2 的中点
O为原点， O1
O2 所在的直线为
x 轴，建立平面直角坐标系，则
O1 （ -2 ，0）， O2
（ 2， 0），
y
P
M
N
由已知 PM
2PN
，得PM2
2PN 2
O1
o
O2 x
因为两圆的半径均为
1，所以
PO1
2
1
2(PO2
2
1)
设 P( x, y) ，则 ( x
2) 2
y2
1
2[( x 2)2
y 2
1] ，
即 ( x
6)2
y 2
33 ，
所以所求轨迹方程为
( x
6)2
y 2
33 （或 x 2
y 2
12 x 3 0 ）
例 4 （ 2006 四川高考理） 已知两定点 A( 2,0) 、 B(1,0) ，如果动点 P 满足 PA 2 PB ，则点 P
的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）
（ A）
（B） 4
（C） 8
（D） 9
解： B
例 5 （2008 江苏高考）

ABC 中， AB 2, AC 2BC ，则 S ABC 的最大值为 ________.
答案： 4
3
变形： ABC中， AB 4, CA : CB 5 : 3，则 S ABC 的最大值为 ________.
答案： 15
2
例 6 设点 A, B,C , D 依次在同一直线上， AB 6, BC 3,CD 2 ，已知点 P 在直线 AD 外，满足
APB BPC CPD ，试确定点 P 的几何位置。
解：先作线段 AC 关于 2:1 的阿氏圆 1 ，再作线段 BD 关于 3:2 的阿氏圆 2 ，两圆交点即为点 P ，同
时该点关于直线 AD 的对称点也为所求。
例 7 （ 2011 年南通一模） 已知等腰三角形一腰上的中线
长为
3 ，
则该三角形面积的最大值为 __________.
例 8 （2013 江苏高考） 如图，在平面直角坐标系