阿波罗尼斯圆.docx

阿波罗尼斯圆
适用题型
两个线段长度之比为定值；
过某动点向两定圆作切线，假设切线张角相等；
向量的定比分点公式结合角平分线；
线段的倍数转化；
根本理论
阿波罗尼斯定理〔又称中线长公式〕
设三角形的三边长分别为，中线长分别阿波罗尼斯圆
适用题型
两个线段长度之比为定值；
过某动点向两定圆作切线，假设切线张角相等；
向量的定比分点公式结合角平分线；
线段的倍数转化；
根本理论
阿波罗尼斯定理〔又称中线长公式〕
设三角形的三边长分别为，中线长分别为,那么：
阿波罗尼斯圆
一般地，平面内到两个定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯圆〞
化简得：
轨迹为圆心的圆
阿波罗尼斯圆的性质
满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比内分和外分所得的两个分点；
直线平分，直线平分的外角；
；
假设是切线，那么与的交点即为；
假设点做圆的不与重合的弦，那么平分；
补充说明
关于性质1的证明
定理：为两点，分别为线段的定比为的内、外分点，那么以为直径的圆上任意点到两点的距离之比等于常数。
证明：不妨设
由相交弦定理及勾股定理得：
从而同时在到两点距离之比等于的曲线〔即圆〕上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此圆上任意点到两点距离之比等于常数。
关于性质6的补充
假设圆及圆外一点，那么可作出与点对应的点，只要过点作圆两条切线，切点分别为，连结与即交于点。反之，可作出与点对应的点
典型例题
例1 〔教材例题〕一曲线是与两个定点、距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。
解：设点是曲线上任意一点，那么，整理即得到该曲线的方程为：。
例2 〔2022北京春季文〕设为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值，求P点的轨迹.
解：设动点P的坐标为〔x，y〕
由.
化简得
当，整理得.
当a=1时，化简得x=0.
所以当时，P点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；
当a=1时，P点的轨迹为y轴.
例3 〔2022江苏高考数学〕如图，圆与圆的半径都是1，，、PN〔〕，使得试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程
解：以的中点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，那么〔-2，0〕，〔2，0〕，
由，得
因为两圆的半径均为1，所以
设，那么，
即，
所以所求轨迹方程为〔或〕
例4 〔2022四川高考理〕两定点、，如果动点P满足，那么点P的轨迹所包围的图形的面积等于〔 〕
〔B〕 〔C〕 〔D〕
解：B
例5 〔2022江苏高考〕，那么的最大值为________.
答案：
变形：，那么的最大值为________.
答案：
例6 设点依次在同一直线上，，点在直线外，满足，试确定点的几何位置。
解：先作线段关于2:1的阿氏圆，再作线段关于3:2的阿氏圆，两圆交点即为点，同时该点关于直线的对称点也为所求。
例7 〔2022年南通一模〕等腰三角形一腰上的中线长为，那么该三角形面积的最大值为__________.
例8 〔2