凸集和凸函数和凸规划.ppt

关于凸集和凸函数和凸规划
第一张，共五十张，创建于2022年，星期二
凸集---定义
线性组合 (linear Combination)
仿射组合 (Affine Combination)
凸组合 (Convex Cb)凹函数
该定义的一个应用——证明不等式
例：证明
Young不等式
推广：Hölder不等式
P41
证法：在Young不等式中令
第二十六张，共五十张，创建于2022年，星期二
例：
设
试证明
在
上是严格凸函数．
证明:
设
且
都有：
因此,
在
上是严格凸函数．
凸函数
第二十七张，共五十张，创建于2022年，星期二
例：
试证线性函数是
上的凸函数．
证明:
设
则
故,
是凸函数．
类似可以证明
也是凹函数.
凸函数
第二十八张，共五十张，创建于2022年，星期二
凸函数
定理1
设
是凸集
上的凸函数充要条件
性质
詹生(Jensen)不等式
不等式应用: 设
，证明:
P41
第二十九张，共五十张，创建于2022年，星期二
凸函数
定理2
性质
正线性组合
第三十张，共五十张，创建于2022年，星期二
凸函数
定理3
设
是凸集
上的凸函数，
则对任意
，水平集
是凸集．
水平集(Level Set)
称为函数f在集合S上关于数 的水平集.
注：定理3 的逆命题不成立.
第三十一张，共五十张，创建于2022年，星期二
下面的图形给出了凸函数
的等值线的图形，可以看出水平集是凸集.
凸函数
第三十二张，共五十张，创建于2022年，星期二
凸函数
第三十三张，共五十张，创建于2022年，星期二
定理1:
设
是定义在凸集
上，
令
则:
(1)
是定义在凸集
是凸集
上的凸函数的充要条件是对
任意的
一元函数
为
上的凸函数.
(2)
设
若
在
上为严格
凸函数，
则
在
上为严格凸函数．
凸函数
凸函数的判别定理
第三十四张，共五十张，创建于2022年，星期二
该定理的几何意义是：凸函数上任意两点之
间的部分是一段向下凸的弧．
凸函数
第三十五张，共五十张，创建于2022年，星期二
定理4
设在凸集
上
可微，
则：
在
上为凸函数的充要条件是对任意的
都有：
严格凸函数(充要条件)??
凸函数
凸函数的判别定理---一阶条件
注：定理4提供了一个判别可微函数是否为凸 函数的依据.
第三十六张，共五十张，创建于2022年，星期二
凸函数
定理4-----几何解释
一个可微函数是凸函数当且仅当函数图形上任一点处的切平面位于曲面的下方.
第三十七张，共五十张，创建于2022年，星期二
凸函数
定理4-----几何解释
一个可微函数是凸函数当且仅当函数图形上任一点处的切平面位于曲面的下方.
第三十八张，共五十张，创建于2022年，星期二
定理5:
设在开凸集
内
二阶可微,则
是
内的凸函数的充要条件为:
对任意
的Hesse矩阵
半正定,
其中：
凸函数
凸函数的判别定理---二阶条件
第三十九张，共五十张，创建于2022年，星期二
:
设在开凸集
内
二阶可微,
若在
内
正定,
则
在
内
是严格凸函数．
注:
反之不成立．
例：
f(x)是严格凸的，
但在点
处
不是正定的
凸函数
凸函数的判别定理---二阶条件
第四十张，共五十张，创建于2022年，星期二
例：
凸函数
凸函数的判别定理---二阶条件
第四十一张，共五十张，创建于2022年，星期二
凸规划
凸规划(Convex Programming)
设
为凸集，
为
上的凸函数，
则称规划问题
为凸规划问题．
例：
为
上的凸函数，
为无约束凸规划问题．
例：
凸规划
第四十二张，共五十张，创建于2022年，星期二
凸规划
例：
第四十三张，共五十张，创建于2022年，星期二
凸规划

(1)凸规划问题的任一局部极小点是全局
极小点，且全体极小点的集合为凸集．
(2)
若
是凸集
上的严格凸函数，
且凸规划问题
局部极小点x*存在，
则x*是唯一的全局极小点．
凸规划的基本性质
第四十四张，共五十张，创建