高中数学建模论文.docx

数学建模之观影的最佳位置
山东省荏平县第一中学高二(9)班李成真 指导老师于海霞 摘要
当今这个时代，电影就是一种喜闻乐见的大众艺术，人们喜欢在闲暇时间走进影院，体验 其中的喜怒哀乐。而同时，作为一种消费，人们总就是希望自己能坐在电影院头晕。而坐的太靠后,又可能会觉得画面不 就是那么的清晰,甚至被前面的观众挡住视线，瞧不到屏幕的最下面。 所以，瞧电影挑选位置就是一门学问。
设影院的屏幕高为h,上边缘距离地面高为H,影院的地板线通常 与水平线有一个倾角9 ,第一排与最后一排与屏幕水平距离分别为d, D,观众的平均座高为c （指眼睛到地面的距离），为了得到这些基本 参数,我专门来到电影院采集数据，询问了电影院工作人员，在说明来 意之后，她热心的为我解答甚至专门拿出了电影院建设之初的相关材 料，而我也得知了参数 h = 1、8, H= 5, d= 4、5, D= 19, c = 1、1 （单 位m）。地板线的倾角1。° ,并且查出电影院一般的中等放映厅 排数为19排,这样就可以求出每两排之间间距为（19-4、5）/18=0、8m
图一、询问工作人员关于影院参数的问题
本文从观众瞧电影的视角与仰角入手，列出非线性方程,并力求使得视 角最大化，仰角最小化，从而可求出观影的最佳位置。
图二、电影院座位图
基本假设：
每位观众坐下后眼睛到地面的距离相等。
忽略前排观众对后排观众的阻挡，每个人都可以完整的瞧到整个大 屏幕
本文中用到的电影院的各种数据就是标准电影院，但不代表所有的 放映厅，因其规格不同。
不考虑曲面屏幕对视觉带来的影响。
模型的建立：
考虑到瞧电影的每个人就是离散的，因此，在知道电影院的座位 一共有22排后，就可以将瞧电影的最佳位置转变为一个个离散的点。 除此之外，最佳位置一定位于最中央的一列上的某个位置，因此，可以 通过求解哪一排的观影效果最好来确定最佳位置。这样问题就转化为 一个平面的几何问题，从而可以绘制出影院放映厅内的剖面图，如下 图所示。且各未知量均标记在图上。
银幕
图三、放映厅剖面图
模型求解
为达到”视角尽可能大，仰角尽可能小”的目的，就在入线(视 觉线)上选择合适的点使得角a尽量大，但角B尽量小，最佳位置就 就是要在这两者之间找到一个契合点；由于a的变化范围在0。- 90°
之间，a-B的范围在-90°- 90°之间，所以a与a- B的大小可用正
切(tan)与反正切函数(arctan)来衡量，如图1所示，即有:
a-(3 = arctan
L + h-H
(L + h > H时为正)
令：f(x)=tanB F (x) = a
因此可得到目标函数：
厂,、 H-L , L + h — H、
F(x) = arctan 1- arctan( )
x x
约束条件为： 影院中每排据屏幕的距离x可表示为:
x = d + (〃-1)(〃 e Z+JeL1 <n< rri)
其中：L表示观众眼睛到水平面的距离，n表示影院中座位的排数。
对于这个多目标问题，用“主目标优化法”对模型进行求解。 进一步分析，人们瞧电影时，视角大时能达到更好的观瞧效果，而 通过调整颈部的扭转角度,也就就是仰角，只要角度不太大，就是不 会给人们的身体带来较大的不适感，特别就