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第一章 矢量分析
第一节 矢性函数
:
设 X 是一个非空数集,
若存在一个对应规则，
使得
有唯一确定的
与之对应 ,
记作
Y 是一个非空矢量集,
则称 为 t 的矢性函第一章 矢量分析
第一节 矢性函数
:
设 X 是一个非空数集,
若存在一个对应规则，
使得
有唯一确定的
与之对应 ,
记作
Y 是一个非空矢量集,
则称 为 t 的矢性函数，
的坐标形式为：
称为此曲线的矢量方程.
当 t 变化时，
将 的起点取在原点，
的终点所形成的
称为 的矢端曲线；
曲线，
矢端曲线的参数方程：
如 圆柱螺旋线
参数方程为
矢量方程为
：
例1.
设小圆半径为a,
大圆半径为4a,
大圆固定,
小圆在大圆内相切而滚动，
求小圆上一点 M 所描的矢量方程.
分析：
取
为参数，
设开始时点 M 在点 A 处
解：
设开始时点 M 在点 A 处，
从而
所以
又作
x 轴,
则
于是
则有
当
时, 有
若
记作
：
设矢性函数 在点
的某去心邻域内有定义 ,
则称常矢 为
当
时的极限,
极限运算法则
则称它在该区间上
连续.
且
设矢性函数 在点
的某去心邻域内有定义 ,
则称 在 连续.
若
在某区间上每一点都连续 ,
:
在 连续
在 连续.
第二节 矢性函数的导数与微分
若
点 的某去心邻域内有定义 ,
设矢性函数
则称此极限为 在点
1. 导数:
存在，
处的导数（导矢），
记作
或
在
设
证明
且
证明：
例1.
2. 微分：
设矢性函数
称
为 在 处的微分.
与
同向，
与
反向，

例2.
证明
证明：

与
同向，
与
反向，
始终指向 t 增大的方向,
始终指向 t 增大的方向.
为切向量，
矢径函数
弧微分
从而
为单位切向量，
始终指向参数 s 增大的方向.
取参数为弧长 s（自然参数）
例3.
求曲线
在 处的切线和法平面方程.
解：
当 时，
切线方程为：
法平面方程为：

设质点 M 的运动方程为:
速度
加速度
例4.
证明：
一质点以常角速度在圆周 上运动，
证明
其加速度为
其中 v 为速度 的模.
其中 为角速度的模，
为常数.
从而加速度
第三节 矢性函数的积分
若在区间 I 上，有
:
记作
则称
为
在区间 I 上的一个原函数；
原函数全体，
称作
在区间 I 上的不定积分，
为
的一个原函数，
若
则
在区间 I 上
的

2. 定积分：
则称
设矢性函数
在区间 上连续，
极限
为 在 上的积分.
牛顿-莱布尼兹公式
例1.
解：
已知
计算
例2.
解：
计算
例3.
解：
计算