泰勒公式例题.docx

泰勒公式及其应用等价无穷小在求函数极限
中的应用及推广
泰勒公式及其应用
１引言
泰勒公式是高等数学中一个特别重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简则可简化此比式.
2
4
x2
(
x2
)
2
解
由cosx
1
x
x
o(x4),e21x2
2
o(x4)得
2!
4!
2
2
x2
cosxe2

(1
1
)x4
o(x4)
1x4
O(x4),
4!
22
2!
12
于是
limcosx
4
e
x
0
x
x
-1-x-
x
e
2
sinx
.
例极限lim
x→0
sinx-xcosx

2
1
x4
O(x4)
x2
lim
12
x
4
1.
x0
12
0
x
剖析：此为0
型极限,
若用罗比达法求解，则很麻烦
,这时可将cosx和sinx,e
分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.
-xsin
x
2
x
3
x
x
3
解：由
x
-1-
=
+
+
+
+
3
+
3
e
x
2
2
6
o(x)
-1-x-(x-
6
o(x))
x1x
2
=x
3
4
x
3
x
3
3
6
+12+o(x)=
6
+o(x),
3
x
2
x
3
3
sinx-xcosx=x-
6
+o(x)-x(1-
2
+o(x))
3
x+o(x3)3
于是
x
3
x
x
3
lim
e
-1-x-
2
sinx
=
6
+o(x
sinx-xcosx
3
3
x→0
x
+o(x
3

)
1
=
2
)
例利用泰勒展开式再求极限。
解：，
【讲解】
现在，我们能够彻底地说清楚下述解法的错误之处
因为，进而
当时，，应为
利用泰勒公式证明不等式
当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混杂物,不妨作一个协助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.
例
当x
0时,证明sinx
x
1x3.
6
证明
取f(x)
sinx
x
1
x3,x0
0,则
6
f(0)
0,f'(0)
0,f''
(0)
0,f'''(x)1cosx,f'''(0)0.
带入泰勒公式,其中n=3,得
1cosx3
f(x)000x，其中01.
故
当x
0时,sinxx
1x3.
6
利用泰勒公式判断级数的敛散性
当级数的通项表达式是由不同种类函数式组成的繁难形式时,往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.
利用泰勒公式判断广义积分的敛散性
例3
+∞
x
+