圆锥曲线中的取值范围最值问题.docx

圆锥曲线中的最值取值范围问题
x 2 y 2
90•已知F1，F2分别是双曲线--矗=l(a>0, b>0)的左、右焦点，P为双曲线上的一点,
若/笙二900，且甲PF?的三边长成等差数列•又一椭圆的中心在原点，短轴的
一个端点到其a = 4 「 2
I a = 2
74•解：(I)(i)由已知可得 f c 1 b 2 = a 2 — c 2 = 3，
e = — = — I c = 1
〔a 2 1
X 2 y 2
则所求椭圆方程C : + = 1.
1 4 3
(ii)由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C的焦点为(1,0)，准线方程
为x = —1，则动圆圆心轨迹方程为C : y2 = 4x .
(I)由题设知直线MN,PQ的斜率均存在且不为零
设直线MN的斜率为k(k丰0)，M (x , y ), N(x , y )，则直线MN的方程为:
1 1 2 2
y = k (x — 1)
联立 C : y 2 = 4x 消去 y 可得 k 2x2 一 (2k 2 + 4)x + k 2 = 0
I MN 1=1 MF I + I NF 1= x +1 + x +1 =
2 2 1 2
2k 2 + 4
k 2
4
k2
同理可得I PQ 1= 4 + 4k 2
1 1 4 1
又S = I MN I -1 PQ 1= (4 + )(4 + 4k2) = 8(2 + k2 + ) > 32
PMQN 2 2 k 2 k 2
(当且仅当k = ±1时取到等号)
所以四边形PMQN面积的最小值为32.
69•如图，已知直线1： y = kx - 2与抛物线C： x2 =-2py(p > 0)交于A，B两点，O为坐 标原点，0A + 0B = (一4, 一12)。
求直线1和抛物线C的方程；
抛物线上一动点P从A到B运动时，求AABP面积最大值.
y = kx 一 2,
E： (I)由 \ 得,x2 + 2pkx — 4p = 0,
x 2 = -2 py
设 AC] y ),Bg,y?),
则 x + x =-2pk, y + y = k (x + x )-4 = -2pk2 一 4, 因为 OA + OB = (x + x , y + y ) = (—2pk, —2pk2 — 4)= (—4,—12),
1 2 1 2
—2 pk = —4, C 7外“解得1
—2 pk 2 — 4 = —12.
'P = 1，
k = 2.
所以直线I的方程为y = 2x — 2,抛物线C的方程为x2 = —2y.
(II)方法1：设P(x ,y )，依题意，抛物线过P的切线与l平行时，AAPB面积最大, 0 0
y' = — x，所以一x = 2 = x = —2, y =—三x 2 = —2,所以P(—2,—2).
0 0 0 2 0
2 - (—2) — (—2) — 2 4 4J5
此时P到直线l的距离d = = = ,
J22 + (—1)2 弱 5
y = 2 x — 2,
由 1 得, x2 + 4x — 4 = 0,
x 2 = —2 y,
I AB 1=耳1 + k2 x + x )2 — 4x - x
1 2 1 2
=<1 + 22^( —4)2 — 4(—4) = 4 価
.•.△ABP的面积最大值为
=8*2
I y = 2x — 2,
(II)方法 2 由 1 x 2 =—2 y, 得, x 2 + 4 x 一 4 = 0,
+ x )2 — 4x - x
2 1 2
=、汀 + 22^( —4)2 — 4(—4) = 4 価
设 P(t, — 12) ， (—2 — 2 2 < t < —2 + 2\ 2)
当P到直线1的距离d最大时，△ABP的面积最大,
1
2t +— t2 — 2 2
(t + 2)2 一 4
、込
因为 AB 为定值
d =、
22 + (一1)2
因为一2-2J2 <t <一2 + 2\.；2，所以当t = 一2 时，d 女 ，此时P(一2,-2).
5
4皿-症
:.△ABP的面积最大值为 2 5 =
—+ ^― = 1(a > b > 0)的长轴为短轴的倍，直线y = x与椭圆交于A、B两点, a 2 b 2
一 一 3
C为椭圆的右项点，OA-OC =
厶
(I)求椭圆的方程;
(II)若椭圆上两点E、F使OE + OF = XOA,仁(0,2),求AOEF面积的最大值
12 12
：(I)根据题意，a =“3b, C (a,0),设 A (t, t),贝 Ut > 0, +