初中数学二次函数知识点整理.doc

初中数学二次函数学问点整理
定义：一般地，假设 y = ax 2 + bx + c(a,b, c 是常数， a ¹ 0) ，那么 y 叫做 x 的二次函数.
二次函数 y = ax2 的性质
抛物线 y = ax2 的顶点是坐标原
交点式：图像与 x 轴的交点坐标 x 、 x
1
，通常选用交点式： y = a(x - x
2 1
)(x - x ).
2
直线与抛物线的交点
y 轴与抛物线 y = ax 2 + bx + c 得交点为(0, c ).
与 y 轴平行的直线 x = h 与抛物线 y = ax 2 + bx + c 有且只有一个交点( h , ah 2 + bh + c ).
抛物线与 x 轴的交点
二次函 数 y = ax 2 + bx + c 的图像 与 x 轴的两 个交点的 横坐标 x 、 x
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，是 对应一元 二次方程
ax 2 + bx + c = 0 x 轴的交点状况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判
定：
①有两个交点Û D > 0 Û 抛物线与 x 轴相交；
②有一个交点〔顶点在 x 轴上〕 Û D = 0 Û 抛物线与 x 轴相切；
③没有交点Û D < 0 Û 抛物线与 x 轴相离.
平行于 x 轴的直线与抛物线的交点
同〔3〕一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标
为 k ，则横坐标是 ax 2
bx + c = k 的两个实数根.
一次函数 y = kx + n(k ¹ 0)的图像l 与二次函数 y = ax 2 + bx + c(a ¹ 0)的图像G 的交点，由方程组
y = kx + n
y = ax2 + bx + c
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时 Û l 与G 有两个交点; ②方程组只
有一组解时Û l 与G 只有一个交点；③方程组无解时Û l 与G 没有交点.
抛物线与 x 轴两交点之间的距离：假设抛物线
y = ax 2 + bx + c 与 x 轴两交点为 A(x ，0)，B(x
1
，0)，由
2
于 x 、 x
1 2
是方程 ax 2
bx + c = 0 的两个根，故
x + x = - b , x × x = c
1 2 a 1 2 a
AB = x - x = (x - x )
= (x + x ) - 4x x =
æ - b ö2
- 4c = b2 - 4ac = D
2
1 2 1 2
2
1 2 1 2
ç ÷
è a ø
a a a
一次函数与反比例函数
考点一、平面直角坐标系 〔3 分〕
1、平面直角坐标系
在平面内画两条相互垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点 O〔即公共的原点〕叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个局部，分别叫做第一象限、
其次象限、第三象限、第四象限。
留意：x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念
点的坐标用〔a，b〕表示，其挨次是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不 能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当 a ¹ b 时，〔a，b〕和〔b，a〕是两个不同点的坐标。
考点二、不同位置的点的坐标的特征 〔3 分〕
1、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限Û x > 0, y > 0 点 P(x,y)在其次象限Û x < 0, y > 0 点 P(x,y)在第三象限Û x < 0, y < 0 点 P(x,y)在第四象限Û x > 0, y < 0
2、坐标轴上的点的特征
点 P(x,y)在 x 轴上Û y = 0 ，x 为任意实数点 P(x,y)在 y 轴上Û x = 0 ，y 为任意实数
点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y 轴上Û x，y 同时为零，即点 P 坐标为〔0，0〕
3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上Û x 与 y 相等
点 P(x,y)在其次、四象限夹角平分线上Û x 与 y 互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标一样。
位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标一样。5、关于 x 轴、y 轴或远点