初中数学二次函数知识点整理.doc

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:一般地,如果是常数,,那么叫做的二次函数.

(1)抛物线的顶点是坐标原点,对称轴是轴.
(2)函数的图像与的符号关系.
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点;
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.
(3)顶点是坐标原点,对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.
(包括重合)轴的抛物线.
:的形式,其中.
,可分为以下几种形式:①;②;③;④;⑤.
:开口方向、对称轴、顶点.
①的符号决定抛物线的开口方向:当时,开口向上;当时,开口向下;
相等,抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于轴(或重合),轴记作直线.
,如果二次项系数相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
、对称轴的方法(1)公式法:,∴顶点是,对称轴是直线.
(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为的形式,得到顶点为(,),对称轴是直线.
(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.
,的作用
(1)决定开口方向及开口大小,这与中的完全一样.
(2)
,故:①时,对称轴为轴;②(即、同号)时,对称轴在轴左侧;③(即、异号)时,对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时,,∴抛物线与轴有且只有一个交点(0,):
①,抛物线经过原点;②,与轴交于正半轴;③,与轴交于负半轴.
以上三点中,当结论和条件互换时,,则.
:
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下
(轴)
(0,0)
(轴)
(0,)
(,0)
(,)
()

(1)一般式:.已知图像上三点或三对、的值,通常选择一般式.
(2)顶点式:.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
(3)交点式:已知图像与轴的交点坐标、,通常选用交点式:.

(1)轴与抛物线得交点为(0,).
(2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
(3)抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、,:
①有两个交点抛物线与轴相交;
②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切;
③没有交点抛物线与轴相离.
(4)平行于轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为,则横坐标是的两个实数根.
(5)一次函数的图像与二次函数的图像的交点,由方程组的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时与有两个交点;②方程组只有一组解时与只有一个交点;③方程组无解时与没有交点.
(6)抛物线与轴两交点之间的距离:若抛物线与轴两交点为,由于、是方程的两个根,故
一次函数与反比例函数
考点一、平面直角坐标系(3分)
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。
其中,水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意:x轴和y轴上的点,不属于任何象限。
2、点的坐标的概念
点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,当时,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。
考点二、不同位置的点的坐标的特征(3分)
1、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限
点P(x,y)在第二象限
点P(x,y)在第三象限
点P(x,y)在第四象限
2、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上,x为任意实数
点P(x,y)在y轴上,y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上x,y同时为零,即点P坐标为(0,0)
3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数
4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称横坐标相等,纵坐标互为相反数
点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等,横坐标互为相反数
点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数
6、点到坐标轴及原点的距离
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:
(1)点P(x,y)到x轴的距离等于
(2)点P(x,y)到y轴的距离等于
(3)点P(x,y)到原点的距离等于
考点三、函数及其相关概念(3~8分)
1、变量与常量
在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。
一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点
(1)解析法
两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法。
(2)列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。
(3)图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
(1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值
(2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点
(3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。
考点四、正比例函数和一次函数(3~10分)
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地,如果(k,b是常数,k0),那么y叫做x的一次函数。
特别地,当一次函数中的b为0时,(k为常数,k0)。这时,y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像
所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:一次函数的图像是经过点(0,b)的直线;正比例函数的图像是经过原点(0,0)的直线。
k的符号
b的符号
函数图像
图像特征
k>0
b>0
y
0x
图像经过一、二、三象限,y随x的增大而增大。
b<0
y
0x
图像经过一、三、四象限,y随x的增大而增大。
K<0
b>0
y
图像经过一、二、四象限,y随x的增大而减小
0x
b<0
y
0x
图像经过二、三、四象限,y随x的增大而减小。
注:当b=0时,一次函数变为正比例函数,正比例函数是一次函数的特例。
4、正比例函数的性质,,一般地,正比例函数有下列性质:
(1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大;
(2)当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质,,一般地,一次函数有下列性质:
(1)当k>0时,y随x的增大而增大
(2)当k<0时,y随x的增大而减小
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式(k0)中的常数k。确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式(k0)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。
考点五、反比例函数(3~10分)
1、反比例函数的概念
一般地,函数(k是常数,k0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0,函数y0,所以,它的图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。
3、反比例函数的性质
反比例函数
k的符号
k>0
k<0
图像
y
Ox
y
Ox
性质
①x的取值范围是x0,
y的取值范围是y0;
②当k>0时,函数图像的两个分支分别
在第一、三象限。在每个象限内,y
随x的增大而减小。
①x的取值范围是x0,
y的取值范围是y0;
②当k<0时,函数图像的两个分支分别
在第二、四象限。在每个象限内,y
随x的增大而增大。
4、反比例函数解析式的确定
确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中,只有一个待定系数,因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何意义
如下图,过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM,PN,则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=。。
二次函数
考点一、二次函数的概念和图像(3~8分)
1、二次函数的概念
一般地,如果,那么y叫做x的二次函数。
叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于对称的曲线,这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征:
①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。
3、二次函数图像的画法
五点法:
(1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴
(2)求抛物线与坐标轴的交点:
当抛物线与x轴有两个交点时,描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A、B,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。
考点二、二次函数的解析式(10~16分)
二次函数的解析式有三种形式:
(1)一般式:
(2)顶点式:
(3)当抛物线与x轴有交点时,即对应二次好方程有实根和存在时,根据二次三项式的分解因式,二次函数可转化为两根式。如果没有交点,则不能这样表示。
考点三、二次函数的最值(10分)如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当时,。
如果自变量的取值范围是,那么,首先要看是否在自变量取值范围内,若在此范围内,则当x=时,;若不在此范围内,则需要考虑函数在范围内的增减性,如果在此范围内,y随x的增大而增大,则当时,,当时,;如果在此范围内,y随x的增大而减小,则当时,,当时,。
考点四、二次函数的性质(6~14分)1、二次函数的性质
函数
二次函数
图像
a>0
a<0
y
0x
y
0x
性质
(1)抛物线开口向上,并向上无限延伸;
(2)对称轴是x=,顶点坐标是(,);
(3)在对称轴的左侧,即当x<时,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x>时,y随x的增大而增大,简记左减右增;
(4)抛物线有最低点,当x=时,y有最小值,
(1)抛物线开口向下,并向下无限延伸;
(2)对称轴是x=,顶点坐标是(,);
(3)在对称轴的左侧,即当x<时,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,即当x>时,y随x的增大而减小,简记左增右减;
(4)抛物线有最高点,当x=时,y有最大值,
2、二次函数中,的含义:表示开口方向:>0时,抛物线开口向上,,,<0时,抛物线开口向下
与对称轴有关:对称轴为x=
表示抛物线与y轴的交点坐标:(0,)
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当>0时,图像与x轴有两个交点;
当=0时,图像与x轴有一个交点;
当<0时,图像与x轴没有交点。
补充:
1、两点间距离公式(当遇到没有思路的题时,可用此方法拓展思路,以寻求解题方法)
y
如图:点A坐标为(x1,y1)点B坐标为(x2,y2)
则AB间的距离,即线段AB的长度为A
0x
B
2、函数平移规律(中考试题中,只占3分,但掌握这个知识点,对提高答题速度有很大帮助,可以大大节省做题的时间)
3、直线斜率:b为直线在y轴上的截距
4、直线方程:一般两点斜截距
1,一般一般直线方程ax+by+c=0
2,两点由直线上两点确定的直线的两点式方程,简称两点式:
--最最常用,记牢
3,点斜知道一点与斜率
4,斜截斜截式方程,简称斜截式:y=kx+b(k≠0)
5,截距由直线在轴和轴上的截距确定的直线的截距
式方程,简称截距式:
记牢可大幅提高运算速度
设两条直线分别为,::
若,则有且。
若
点P(x0,y0)到直线y=kx+b(即:kx-y+b=0)的距离:
对于点P(x0,y0)到直线滴一般式方程ax+by+c=0滴距离有
常用记牢
中考点击
考点分析:
内容
要求