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应变的计算方法
基于欧拉法和有限应变理论解析的方网格计算方法
根据有限应变的理论,不同的应力加载可以获得相同的应变结果。对于近似于平面应力状态的板材成形来说,每个单元体的应变主方向(除去因为位移造成的转动)在成形过程中保持不变。这样就可以将应变分成不同的加载阶段,利用真实应变的可叠加性,就可以推导出方网格变形的应变计算方法。
连续体的有限变形有两种表述方法。一种方法的相对位移计算是以变形前后物体内一点作为参考点,即以变形前的坐标作为自变量,这种方法称为拉格朗日法。另一种方法的相对位移计算是以变形后物体内一点作为参考点,以及已变形后的坐标作为自变量,这种方法称为欧拉法[48]。这里给出基于欧拉法和有限应变理论解析的方网格计算原理。
方网格内部的变形
设任意方向正方形网格内接于圆网格,将其变形过程分解为两个阶段,如图4-5所示。第一个阶段沿着X方向变形,Y方向保持不变;第二个阶段沿着Y方向变形,X方向保持不变,即应变主方向与坐标轴相平行。变形的结果使圆网格变形为椭圆,正方形网格变形为平行四边形(假设单元网格内沿主应变方向的变形是均匀的)
(a)初始网格(b)横向变形后的网格(c)纵向变形后的网格图4-5 基于有限应变的网格分解变形过程
应变主方向和真实应变的计算
对于方网格中心的应变,假设网格内部变形是均匀的,所以变形前后四边形对角线的交点就是网格中心,对角线把方网格划分成四个三角形。将变形后的网格中心和变形前的网格中心重合,建立直角坐标系,如图4-6所示。图4-6 以欧拉法建立的变形前后网格中心重合的坐标系统
根据欧拉方法,以变形之后的网格坐标来分析,将主应变方向定为坐标方向,设X方向为主应变的方向,Y方向为主应变的方向,两个方向分别有拉形比: (4-20)
则两个方向的真实应变等于两次分别变形的叠加:
(4-21)
设变形前方网格边长为,为所取初始三角形的直角边长,则有:
取其中初始三角形,其变形后为,根据变形后的网格点坐标、、,得到变形后三角形边长为:
(4-22)
沿两个主应变方向的拉形比为:
(4-23)
已知:
(4-24)
得:
(4-25)
由此得到根据三角形计算出来的主应变的方向,进而可以求出主应变: (4-26)
根据四边形网格划分的三角形分别求出来的主应变的方向和大小,就得到了方网格中心O点的真实应变值。由于进行多次计算,四边形的网格都得到了利用,平均之后,计算的精度得以提高,减小了误差。
网格点上的应变
以上应变的计算获得的都是方网格中心的应变值,对于网格点上的应变值,则三角形的三个顶点都要取网格点才能计算出网格点上的应变值。
图4-7中所示有9个网格点1~9构成四个网格四边形,A、B、C、D分别为四个网格的中心。通过四个网格(1、2、4、5),(2、3、5、6),(4、5、7、
8)和(5、6、8、9)可以分别求出中心点A、B、C、D的应变值。那么网格点5的应变值的获得有下面几种方法:
一种是利用(1、3、7、9)四个点构成的四边形利用上小节所述的方法进行计算,分别求出三角形(1、5、3),(1、5、7),(3、5、9),(7、5、9)的直角顶点5的应变值,然后再求平均值,从而获得主应变和主方向。如图4-8所示。
图4-7 网格点上应变的获得
图4-8 由斜侧方向点求网格点上应变图4-9 由纵横方向点求网格点上应变
另一种方法就是利用(2、4、8、6)四个点构成的四边形同样利用上小节所述的方法进行计算,分别求出三角形(2、5、4),(2、5、6),(4、5、8),(8、5、6)的直角顶点5的应变值,然后再求平均值,从而获得主应变和主方向。如图
4-9所示。
以上两种方法都仅利用了网格点5周围的4个网格点,而没有充分利用网格点5四周的8八个网格点,因此从计算精度上来说,前一种方法在45°方向上精度比较高,而后一种方法在90°方向上精度比较高。为了进一步提高计算精度,可以将以上两种方法结合起来,再一次进行平均,由此获得由某个网格点连同周围8个点计算出来的网格点应变值。?显然,这种方法所带来的问题就是需要的计算时间相应地要增加很多。
其它应变
工程应变
工程应变虽然不具有叠加性质,但它比较直观,在工程实际中应用广泛。如图4-10所示,是材料的原始长度,是材料的伸长量。则工程应变为伸长量相对于原始长度的比值:
(4-27)
图4-10 材料伸长变形
真实应变是伸长比(拉形比)的自然对数,可以表示为:
(4-28)
因此可以由真实应变获得工程应变:
(4-29)
工程应变值如果为正,可以解