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第二辑热点关注:
从“阿波罗尼斯圆”说起
江苏省启东中学 张杰
众所周知，到两定点的间隔 之和为定值的点的轨迹是椭圆,到两定点的间隔 之差的绝对值为定值的点的轨迹是双曲线，那么到两定点的间隔 之商为定值的点的轨迹是什

第二辑热点关注:
从“阿波罗尼斯圆”说起
江苏省启东中学 张杰
众所周知，到两定点的间隔 之和为定值的点的轨迹是椭圆,到两定点的间隔 之差的绝对值为定值的点的轨迹是双曲线，那么到两定点的间隔 之商为定值的点的轨迹是什么呢?它就是“阿波罗尼斯圆".用数学语言表达为:在平面上给定相异两点A、B，设P点在同一平面上且满足，当且时，P点的轨迹是个圆,。根据这个定理可证明三角形的中线长公式：设三角形的三边长分别为,中线长分别为,那么有，
，，此结论也可由余弦定理证之.
有关“阿波罗尼斯圆"的问题在近年高考中已成为热点问题,如2020年江苏试题：满足条件AB=2,的的面积的最大值是 .
简解: 以AB所在直线为x轴， 中点O为坐标原点，建立直角坐标系,那么点A(—1,0)，B（1，0），
设点，那么由条件得，化简为
其中,从而，的面积的最大值是.

还有在各地的模考中也屡见不鲜，下面就2020年南通市一模试题作一分析：
题目： 等腰三角形腰上的中线长为，那么该三角形的面积的最大值是 ▲ ．
A
y
C
B O D x
图1
解题分析:此题条件是等腰三角形腰上的中线长为定值，假设将此中线两端点作为定点,那么等腰三角形顶角顶点到此两定点间隔 之比为2（或），所以它的轨迹就是“阿波罗尼斯圆”.由此得到约束条件,求解问题。
解法一. 如图1示,以中线BD所在直线为x轴，中点O为坐标原点，建立直角坐标系，那么点B坐标为，又设,那么因点D是AC中点，得，其中,由AC=AB得
,化简得,其中
从而，，而面积,所以当时,.
D
y
A
B O C x
图2
解法二。 如图2所示，以底BC所在直线为x轴，中点O为坐标原点,建立直角坐标系，设

，，（） ，那么腰AC中点,由BD=得
，由根本不等式得
,从而，
因面积为，所以最大值为2。
解法三。设等腰三角形ABC的底BC长为，高AO=,那么腰AC=AB=，由三角形中线长公式
,得，以下同法二。
解法四。 如图3所示，记等腰三角形ABC的底边BC上的中线AO和腰AC上的中线BD相交于点G，那么G为重心，得,
由的面积，
G
D
A
B O C
图3
得面积,所以最大值为2。
解法五。设顶角，两腰之长为，D为腰AC中点，那么在三角形ABD内利用余弦定理，得．