圆的方程知识点及题型归纳总结.pdf

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圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，
半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等.
例 根据下列条件求圆的方程：
（1） ABC 的三个顶点分别为 A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),求其外接圆的方程；
（2）经过点 A(6,5),B(0,1),且圆心在直线 3x+10y+9=0 上；
（3）经过点 P(-2,4),Q(3,-1),且在 x 轴上截得的弦长等于 6.
分析 根据待定系数法求出相应的量即可.
解析 （1）解法一：设所求圆的方程为 x 2  y 2  Dx  Ey  F  0 ，则由题意有，
 D  5E  F  26  0 D  4
 
 2D  2E  F  8  0 解得 E  2
 
5D  5E  F  50  0 F  20
故所求圆的方程为 x 2  y 2  4x  2y  20  0
解法二：由题意可求得 AC 的中垂线方程为 x=2,BC 的中垂线方程为 x+y-3=0，所以圆心是两条中垂线
的交点 P(2,1),且半径 r | AP | (2 1) 2  (1 5) 2  5
所以所求圆的方程为(x  2) 2  (y 1) 2  25
即 x 2  y 2  4x  2y  20  0
1 3
（2）AB 的中垂线与 AB 垂直，则斜率 k    
k 2
AB
3
AB 的中点(3,3)，则由点斜式可得 y  3   (x  3) ，
2
即线段 AB 的中垂线方程为 3x+2y-15=0
3x  2y 15  0 x  7
由  ，解得  ，所以圆心为 C(7,-3),又| BC | 65
3x 10y  9  0 y  3
故所求的圆的方程为(x  7) 2  (y  3) 2  65
（3）设圆的方程为 x 2  y 2  Dx  Ey  F  0，将点 P，Q 的坐标分别代入，得
2D  4E  F  20
 ，又令 y=0,得 x 2  Dx  F  0 .设 x , x 是方程 的两 根，则 由韦 达定理 有
3D  E  F  10 1 2
x  x  D, x x  F ，由| x  x | 6
1 2 1 2 1 2
有 (x  x ) 2  4x x  36 ，即 D 2  4F  36
1 2 1 2D  2 D  6
 
解得 E  4 或 E  8
 
F  8 F  0
故所求圆的方程为 x 2  y 2  2x  4y  8  0 或